Hans Walser, [20230323]

Tausend

Idee und Anregung: Swetlana Nordheimer, Bonn

1 Worum geht es?

Abzählproblem. Kombinatorische und Räumliche Lösung. Erkennung von geometrischen Mustern und Zahlenmustern.

2 Die Spirale

Wie viele Quadrate enthält die Spirale (Abb. 1).

Abb. 1: Spirale

3 Abzählen mit Pfiff und Pascal

3.1 Zahlen im Pascal-Dreieck

Das äußerste, erste, rote, Teilstück besteht aus drei Rechtecken mit den Seitenlängen 10 und 9 sowie einem Einzelquadrat. Es enthält also 3•10•9 + 1 = 3•90 + 1 Quadrate.

Das zweite, grüne, Teilstück besteht aus drei Rechtecken mit den Seitenlängen 9 und 8 sowie einem Einzelquadrat. Es hat also 3•9•8 + 1 = 3•72 + 1 Quadrate.

Das dritte, blaue, Teilstück besteht aus drei Rechtecken mit den Seitenlängen 8 und 7 sowie einem Einzelquadrat. Es hat also 3•8•7 + 1 = 3•56 + 1 Quadrate.

Wir erkennen das Muster. Jedes Teilstück besteht aus drei Rechtecken mit den Seitenlängen n und n – 1 sowie einem Einzelquadrat. Dabei geht n von 10 hinunter bis 1.

Für die Gesamtsumme S erhalten wir somit:

S = 3•(90 + 72 + 56 + 42 + 30 + 20 + 12 + 6 + 2 + 0) + 10

Aus der Klammer können wir den Faktor 2 ausklammern:

S = 6•(45 + 36 + 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 + 0) + 10

Die Zahlen in der Klammer kennen wir aber. Sie erscheinen auch in der Schrägzeile im Pascal-Dreieck der Binomialkoeffizienten (Abb. 2).

Abb. 2: Zahlen im Pascal-Dreieck

3.2 Das Weihnachts-Socke-Theorem

Die Summe der gelb markierten Zahlen im Pascal-Dreieck ist die rot markierte Zahl 165, rechts unten im Anschluss an die gelb markierten Zahlen (Abb. 3).

Abb. 3: Summe

Bevor wir dies beweisen, einige weitere Beispiele (Abb. 4).

Abb. 4.1: Beispiel

Abb. 4.2: Beispiel

Abb. 4.3: Beispiel

Abb. 4.4: Beispiel

Die Figuren erinnern an die vom Weihnachtsmann gebrachten, mit Zahlen gefüllten Socken. Die Summe der Zahlen im Schaft ist gleich groß wie die Zahl in der Fußspitze. Formal:

Wir verwenden die Rekursionsformel für die Binomialkoeffizienten (Abb. 5):

Abb. 5: Rot = Gelb + Cyan

Die Abbildung 6 illustriert nun den Rekursionsbeweis für das Weihnachts-Socke-Theorem.

Abb. 6: Weihnachts-Socke-Theorem

3.3 Anzahl Quadrate

Nun zurück zu unserem Abzählproblem.

Für die Summe S der Anzahl der Quadrate in der Spirale (Abb. 1) erhalten wir:

S = 6•(45 + 36 + 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 + 0) + 10 = 6•165 + 10 = 990 + 10 = 1000

4 Abzählen im Raum

4.1 Von Quadraten zu Würfeln

Wir ersetzen die Quadrate durch Würfel (Abb. 7).

Abb. 7: Situation im Raum

Die Abbildung 8 zeigt den Übergang von der ebenen Situation der Abbildung 1 zur räumlichen Situation der Abbildung 7.

Abb. 8: Von der Ebene in den Raum

4.2 Andere Anordnung im Raum

Die Abbildung 9 zeigt das erste, rote Teilstück der Figur. Es besteht aus drei rechteckigen Platten mit den Seitenlängen 10 und 9 und der Dicke 1 sowie einem Einzelwürfel.

Abb. 9: Erster Anteil

Diese vier Figuren ordnen wir nun anders an (Abb. 10).

Abb. 10: Andere Anordnung im Raum

Wir können nun die drei rechteckigen Platten simultan zusammenschieben, bis sie den Würfel berühren (Abb. 11).

Abb. 11: Zusammenschieben der Platten

Als Endlage entsteht eine Ecke (Abb. 12).

Abb. 12: Ecke

Analog können wir mit den weiteren Teilstücken verfahren. Die Abbildung 13 zeigt ein Beispiel.

Abb. 13: Weiteres Beispiel.

4.3 Ein großer Würfel entsteht

Die entstehenden Ecken lassen sich ineinanderlegen (Abb. 14).

Abb. 14: Eineinanderlegen der Ecken

Es entsteht ein großer Würfel (Abb. 15).

Abb. 15: Großer Würfel

Der große Würfel hat die Kantenlänge 10 und enthält somit 10³ = 1000 kleine Würfelchen.