Hans Walser, [20160517]

T-Fraktal

Anregung: Heinz Klaus Strick, Leverkusen

1     Worum geht es?

Es wird ein Zusammenhang zwischen zwei Fraktalen vorgestellt.

2     Was wir schon kennen

Der Umriss des Fraktals der Abbildung 1 ist ein Rechteck mit dem SeitenverhŠltnis des Goldenen Schnittes (Walser 2013, S. 31). Die Einzelfiguren sind Quadrate.

Abb. 1: Goldener Schnitt

Der VerkŸrzungsfaktor r zwischen den aufeinanderfolgenden Generationen ist der Kehrwert des Goldenen Schnittes:

 

                                                                                                   (1)

 

Der Umriss des Fraktals der Abbildung 2 ist ein Rechteck mit dem SeitenverhŠltnis des DIN-Formates (Walser 2013, S. 24). Die Einzelfiguren sind Strecken.

Abb. 2: DIN-Format

Der VerkŸrzungsfaktor r zwischen den aufeinanderfolgenden Generationen ist der Kehrwert der Quadratwurzel aus 2:

 

                                                                                                                (2)

 

Beide Fraktale haben eine T-Verzweigung. Zudem haben wir bei den €sten eine infinitesimale BerŸhrung: Weder gibt es eine †berlappung noch einen echten Zwischenraum zwischen den €sten. Dass man insbesondere bei der Abbildung 2 dennoch einen Zwischenraum sieht, hŠngt damit zusammen, dass in dieser Abbildung nicht das vollstŠndige Fraktal gezeichnet ist (was ja auch gar nicht mšglich ist), sondern nur die ersten neun Generationen.

Die Einzelfiguren Quadrat und Strecke kšnnen als SonderfŠlle von Rhomben gesehen werden. Eine Strecke ist ein zusammengeklappter Rhombus, also ein Rhombus mit dem spitzen Winkel 0¡.

3     Weitere Beispiele

Die Abbildungen 3 und 4 zeigen zwei Fraktale mit Rhomben. Es sind ebenfalls T-Fraktale mit infinitesimaler BerŸhrung der €ste.

Beide Fraktale habe ein Umrissrechteck mit dem SeitenverhŠltnis 1:0.65. Beide Fraktale haben den VerkŸrzungsfaktor r = 0.65. Die Rhomben der beiden Fraktale haben dieselbe Form. Lediglich die Anordnung innerhalb des Fraktals ist unterschiedlich.

Abb. 3: Fraktal mit Rhomben

Abb. 4: Andere Anordnung

Die Abbildungen 5 und 6 zeigen Varianten zu den Abbildungen 3 beziehungsweise 4. Es wird nur mit halben Rhomben, also gleichschenkligen Dreiecken, gearbeitet. Die ãunnŸtzeÒ Rhomben-Ecke ohne Anschluss wird weggelassen. Der T-Charakter des Fraktals kommt so besser zum Ausdruck.

Abb. 5: Halbe Rhomben

Abb. 6: Halbe Rhomben

Die Abbildung 2 (DIN-Format) gehšrt zu dieser Kategorie der halben Rhomben. Man kann sich Ÿberlegen, was wŠre, wenn wir da mit ganzen Rhomben kutschierten.

4     Hintergrund

Wir verwenden die Disposition und die Bezeichnungen der Abbildung 7, welche zwar auf der Abbildung 3 basiert, aber allgemein zu verstehen ist.

Das Umrissrechteck hat die LŠnge 1 und die Hšhe b. Diese Zahl b ist die SchlŸsselzahl der Figur. Sie ist gleichzeitig der Verkleinerungsfaktor r = b. Es ist:

 

                                                                                                                           (3)

 

In der Abbildung 7 ist b = 0.65.

Abb. 7: Disposition und Bezeichnungen

FŸr die eingezeichneten Punkte ergeben sich die Koordinaten:

 

                                                    (4)

 

Der Punkt A liegt im ersten Quadranten des Koordinatensystems. Somit ist:

 

                                                                                         (5)

 

Der Grenzfall  ergibt das DIN-Fraktal der Abbildung 2.

Entscheidend fŸr die infinitesimale BerŸhrung ist die KollinearitŠt der drei Punkte A, B, C. Dies fŸhrt auf die Bedingung:

 

                                                                                                             (6)

 

 

Bei gegebenem b ist (6) eine quadratische Gleichung fŸr p. Sie hat die beiden Lšsungen:

 

                       (7)

 

 

FŸr reelle Lšsungen darf der Radikand in (7) nicht negativ sein. Die Abbildung 8 zeigt den Funktionsgrafen fŸr:

 

                                                               (8)

 

Abb. 8: Radikand

Die Nullstellen sind:

 

                                                                                   (9)

 

Aus (3), (5) und (9) ergibt sich fŸr b der zulŠssige Bereich:

 

                                                                                                     (10)

 

An den beiden Grenzen ergeben sich das Fraktal im Goldenen Schnitt (Abb. 1) beziehungsweise das DIN-Fraktal (Abb. 2).

FŸr jeden Wert im Innern des Bereiches (10) ergeben sich zwei verschiedene reelle Lšsungen fŸr p. FŸr den exemplarischen Wert b = 0.65 erhalten wir so die beiden Fraktale der Abbildungen 3 und 4.

 

Literatur

Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-937219-85-1.