Hans Walser, [20131129]

Summen von Kuben

1     Worum geht es?

Wir suchen ganzzahlige LÜsungen der kubischen Gleichung:

2     Beispiele

Die Tabelle zeigt einige LÜsungen mit natčrlichen Zahlen. Die LÜsungen wurden mit brute force gefunden.

 

a

b

c

d

1

6

8

9

2

17

40

41

3

4

5

6

3

10

18

19

3

36

37

46

4

17

22

25

6

32

33

41

7

14

17

20

11

15

27

29

15

42

49

58

16

23

41

44

18

19

21

28

27

30

37

46

29

34

44

53

 


 

3     Illustration

Die Abbildung 1 illustriert das einfachste Beispiel: a = 3, b = 4, c = 5  und d = 6.

Abb. 1: Gelb + Blau + Rot = Grčn

Die Abbildung 2 zeigt in mehreren Schritten den Umbau von Gelb + Balu + Rot in Grčn.

Abb. 2.1: Ausgangslage

Abb. 2.1: Erster Schritt

Abb. 2.2: Zweiter Schritt

Abb. 2.3: Dritter Schritt

Projekt: Kuben analog zum Soma-Wčrfel (hier der gelbe Wčrfel) zerlegen.

4     Negative Zahlen

Wir lassen nun zu, dass c und allenfalls d negativ sind. Dabei soll aber  sein, um triviale LÜsungen zu vermeiden. Die Tabelle zeigt einige LÜsungen:

 

a

b

c

d

 

a

b

c

d

1

12

-10

9

 

12

40

-33

31

1

12

-9

10

 

12

40

-31

33

2

16

-15

9

 

15

33

-34

2

2

16

-9

15

 

15

33

-2

34

2

34

-33

15

 

16

33

-34

9

2

34

-15

33

 

16

33

-9

34

9

10

-12

1

 

17

39

-36

26

9

10

-1

12

 

17

39

-26

36

9

15

-16

2

 

19

24

-27

10

9

15

-2

16

 

19

24

-10

27

9

34

-33

16

 

26

36

-39

17

9

34

-16

33

 

26

36

-17

39

10

27

-24

19

 

31

33

-40

12

10

27

-19

24

 

31

33

-12

40

Wir sehen, dass sich etliche LÜsungen bis auf Vorzeichenkombinationen und Anordnung wiederholen, so zum Beispiel:

 

a

b

c

d

1

12

-10

9

1

12

-9

10

9

10

-12

1

9

10

-1

12

 

Diese LÜsung kann auch in der Form  geschrieben werden. Einer Anekdote zufolge soll Ramanujan gegenčber Hardy geŐužert haben, die von Hardy als Ńnichtssagende ZahlĎ bezeichnete Zahl 1729 sei die kleinste Zahl, welche als Summe von zwei Kuben geschrieben werden kann, eben .

Srinivasa Aiyangar Ramanujan, 1887 – 1920

 

Literatur

Harper, James, F.: Ramanujan, Quadratic Forms, and the Sum of three Cubes. Math. Mag. 86 (2013) 275-279. doi:10. 4169 / math.mag. 86. 4. 275. ę Mathematical Association of America