Hans Walser, [20080326a], [20160627]

1 Die Summe ungerader Zahlen

Zunächst die ersten Beispiele:

Die Summe s_n der n ersten ungeraden Zahlen ist .

2 Rechnerischer Beweis

Die ungeraden Zahlen bilden eine arithmetische Folge. Für eine arithmetische Folge gilt allgemein:

In unserem Fall also:

Es gibt aber auch schöne geometrische Beweise.

3 Beweis mit Quadraten

Abb. 1: 25 Quadrate

Das große Quadrat enthält 25 kleine Quadrate. Aus der Figur rechts lesen wir ab:

4 Beweis mit Dreiecken

Abb. 2: 25 Dreiecke

Das große Dreieck enthält 25 kleine Dreiecke. Aus der Figur rechts lesen wir ab:

5 Anordnen

Die Abbildung 3a zeigt eine Stapelanordnung der ersten n ungeraden Zahlen. Die Basislinie hat die Länge 2n – 1. In der Abbildung 3b sind vier solche Stapel in einem Quadrat der Seitenlänge 2n angeordnet.

Abb. 3: Stapel und Quadrat

Somit ist: