Hans Walser, [20160625]

Summe der ungeraden Quadratzahlen

Anregung: Heinz Klaus Strick, Leverkusen

1     Worum geht es?

Wir illustrieren die Folge:

 

                                                  1 + 9 + 25 + 49 + 81 + ...                                             (1)

 

Formal:

 

                                                                                                             (2)

 

 

2     Rechnerischer Zugang

2.1    Explizite Formel

Es ist:

 

                                          (3)

 

 

Mit den einschlŠgigen Formeln fŸr die einzelnen Summen erhalten wir:

 

                                                         (4)

 

 

2.2    Rekursionsformel

Wegen (2) gilt mit dem Startwert s1 = 1 die Rekursionsformel:

 

                                                                                                       (5)

 

 

Damit kann die explizite Formel (4) induktiv verifiziert werden.

3     Geometrischer Zugang

3.1    Eine Pyramide

Wir bauen aus EinheitswŸrfeln eine Pyramide gemŠ§ Abbildung 1. In jeder Pyramidenschicht haben wir eine ungerade Quadratzahl an WŸrfeln. Das Volumen der Pyramide ist also sn.

In der Abbildung 1 ist n = 4. Die Pyramide hat 4 Schichten und am Boden eine KantenlŠnge 2n –1 = 7.

Abb. 1: Pyramide

3.2    ErgŠnzung zum WŸrfel

Wir nehmen eine zweite Pyramide, entfernen den obersten WŸrfel, und legen sie umgekehrt auf der erste Pyramide (Abb. 2).

Abb. 2: Doppelpyramide

Der Umriss (die konvexe HŸlle) der Doppelpyramide ist ein WŸrfel. Er hat die KantenlŠnge 2n –1 = 7.

Das Volumen der Doppelpyramide ist 2sn – 1 (es fehlt der oberste WŸrfel der zweiten Pyramide).

3.3    Stabilisierung

Der kleine WŸrfel in der Mitte ist die konstruktive Schwachstelle. Wir stabilisieren durch den Einbau von StŸtzwŠnden (Abb. 3).

Abb. 3: StŸtzwŠnde

Im Beispiel der Abbildung 3 besteht jede der vier StŸtzwŠnde zuŠu§erst aus 5 grauen WŸrfeln, dann folgen 3 graue WŸrfel und zuinnerst ist noch ein grauer WŸrfel. Wir haben es also pro StŸtzwand mit der Summe 1 + 3 + 5 oder allgemein mit der Summe

 

                                                                                                                         (6)

 

 

zu tun. Man Ÿberlege sich, dass die Obergrenze n – 1 korrekt ist.

3.4    Summe der ungeraden Zahlen

FŸr die Summe der ungeraden Zahlen gilt die schšne und einfache Formel:

 

                                                                                                             (7)

 

 

Das Volumen der Doppelpyramide mit vier StŸtzwŠnden ist somit:

 

                                                                                                           (8)

 

 

3.5    Weitere Pyramiden

Wir sehen in der Abbildung 3 auf allen vier Seiten ein Loch. Es hat die Form der Pyramide, allerdings nur mit n – 1 = 3 Lagen. Die Abbildung 4 zeigt exemplarisch, wie eine solche Seitenpyramide einzuschieben ist.

Abb. 4: Einschieben einer Seitenpyramide

Nach Einschieben von vier Seitenpyramiden ist der WŸrfel mit der KantenlŠnge 2n – 1 komplett. Wir haben die Volumengleichung:

 

                                                                             (9)

 

 

3.6    Rekursionsformel

Aus (9) gewinnen wir die Rekursionsformel:

 

                     (10)

 

 

3.7    Explizite Formel

Wir subtrahieren die Rekursionsformel (5) von der Rekursionsformel (10):

 

                                                 (11)

 

 

 

Somit ist:

 

                                                                                     (12)

 

 

Wir substituieren n durch n + 1 und erhalten:

 

                                                       (13)

 

 

 

Dies ist die explizite Formel (4).

 

 

 

Websites

(25.06.2016)

 

Hans Walser: Summe ungerader Zahlen

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Summe_ungerader_Zahlen/Ungerade_Zahlen.htm