Hans Walser, [20150625]

Sterne

1     Worum geht es?

Es werden Verallgemeinerungen des Fibonacci-Sterns (Walser 2012, S. 31 und Walser 2013, S. 108) und des Goldenen Sterns (Walser 2013, S. 109) vorgestellt.

2     Verallgemeinerung des Fibonacci-Sterns

2.1    Beispiel

Wir illustrieren das Verfahren an einem Beispiel mit einem Stern mit k = 8 Spitzen.

Wir beginnen gemŠ§ Abbildung 1a mit einem gleichschenkligen Dreieck mit dem Spitzenwinkel . Dieses Dreieck hat die Basiswinkel 67.5¡.

 

Abb. 1: Vorgehen fŸr k = 8

 

Unter dieses Dreieck passen wir rechts einen Rhombus mit dem spitzen Winkel 67.5¡ ein und daneben ein gleichschenkliges Dreieck gemŠ§ Abbildung 1b. Dieses Dreieck ist Šhnlich zum Startdreieck.

Dann passen wir links unter das neue gleichschenklige Dreieck einen Rhombus mit dem spitzen Winkel 67.5¡ ein und rechts daneben ein gleichschenkliges Trapez (Abb. 1c). Dieses gleichschenklige Trapez hat Basiswinkel 67.5¡.

Weiter passen wir rechts unter das Trapez einen Rhombus ein und ergŠnzen links mit einem gleichschenkligen Trapez (Abb. 1d).

So fahren wir weiter und passen abwechslungsweise links und rechts Rhomben ein und ergŠnzen mit gleichschenkligen Trapezen (Abb. 1e). Es entsteht ein gro§es gleichschenkliges Dreieck mit dem Winkel 45¡ an der Spitze. Die Trapeze haben zwar alle die gleichen Winkel, sind aber nicht Šhnlich. Die SeitenverhŠltnisse differieren geringfŸgig.

Nun entfernen wir die Rhomben (Abb. 2a) und klappen die Trapeze (und die Dreiecke ganz oben) an den gelenkig gedachten gemeinsamen Punkten zusammen (Abb. 2b).

 

Abb. 2: Entfernen der Rhomben. Zusammenklappen

 

Mit k = 8 Kopien dieser Figur kšnnen wir nun einen Stern bauen (Abb. 3). Im Zentrum des Sterns erkennen wir ein regelmŠ§iges Achteck.

 

Abb. 3: Stern

 

Die Abbildung 4 zeigt den Stern in monochromer AusfŸhrung.

 

Abb. 4: Stern mit acht Spitzen

 

2.2    Zahlentheoretischer Hintergrund

Wir definieren eine Zahlenfolge  rekursiv wie folgt.

Startwerte:

 

 

Rekursion:

 

 

Das ist eine verallgemeinerte Fibonacci-Rekursion.

In unserem Beispiel mit k = 8 hei§t das:

 

 

Die Tabelle 1 gibt die ersten Werte.

 

n

 exakter Wert

 numerisch

0

0

0

1

1

1

0.7653668650

2

0.7653668650

2.071929830

3

1.585786438

1.248008693

4

1.979075260

1.566643336

5

3.100505066

1.403674242

6

4.352099098

1.477782876

7

6.43145752

1.442056260

8

9.274523581

1.458821090

9

13.5298706

1.450851875

10

19.62983813

1.454617140

Tab. 1: Zahlenfolge

 

Diese Zahlen kšnnen im Dreieck der Abbildung 1 als StreckenlŠngen visuell dargestellt werden gemŠ§ Abbildung 5. Wer Lust hat, kann sich Ÿberlegen, wo die Null von  steckt und was es mit dem grŸnen Dreieck an der Spitze auf sich hat (Tipp: Folge ins Negative fortsetzen).

 

Abb. 5: Visualisierung

 

Die Abbildung 6 gibt exemplarisch eine ErklŠrung fŸr diesen Sachverhalt. Die Rekursion steckt in den Trapezen. Wir mŸssen in den Trapezen noch ein Parallelogramm einbauen, um die Rekursion sichtbar zu machen.

 

Abb. 6: Rekursion

 

Bemerkung: Bei der Quotientenfolge  vermuten wir einen Limes. Dieser ist die positive Lšsung der quadratischen Gleichung:

 

 

Die Lšsungen sind:

 

 

 

Herleitung gemŠ§ allgemeinen Techniken bei der verallgemeinerten Fibonacci-Folge (Walser 2013, S. 113f).

2.3    Der Sonderfall

FŸr k = 6 erhalten wir wegen  die Fibonacci-Rekursion und entsprechend die Fibonacci-Folge. Zur Visualisierung dazu siehe (Plaza and Walser 2013).

2.4    Bildergalerie

Einige Beispiele.

 

Abb. 7: Drei Spitzen

 

Abb. 8: Vier Spitzen

 

Abb. 9: FŸnf Spitzen

 

Abb. 10: Sechs Spitzen, Fibonacci-Stern

 

Abb. 11: Zehn Spitzen

 

Bei den bisherigen Beispielen war im Zentrum ein regelmŠ§iges k-Eck zu erkennen. Das Šndert sich bei den folgenden †berlegungen.

3     Verallgemeinerung des Goldenen Sterns

3.1    Beispiel

Wiederum exemplarisch das Vorgehen fŸr einen Stern mit k = 8 Spitzen.

Die SchlŸsselzahl ist die positive Lšsung der quadratischen Gleichung:

 

 

Also:

 

 

Wir zeichnen nun ein gleichschenkliges Mustertrapez mit der Deckseite 1, der SchenkellŠnge  und dem Basiswinkel 67.5¡ (Abb. 12).

 

Abb. 12: Mustertrapez

 

Nun formen wir aus acht Trapezen einen Ring gemŠ§ Abbildung 13a.

 

Abb. 13: Ring und Doppelring

 

Zu diesem Ring erstellen wir eine spiegelbildliche Kopie, drehen sie um 22.5¡ und reduzieren sie mit dem Kehrwert von . Dann passt die Kopie genau in den Ring der Abbildung 13a. Wir erhalten den Doppelring der Abbildung 13b.

Diesen Doppelring kšnnen wir nun kopieren und mit Faktoren , strecken und einpassen. So entsteht ein Stern (Abb. 14).

 

Abb. 14: Stern mit acht Spitzen

 

Im Unterschied zum Stern der Abbildung 4 erkennen wir im Zentrum kein regelmŠ§iges Achteck. Vielmehr haben wir im Zentrum einen HŠufungspunkt. Die Trapeze sind alle zueinander Šhnlich. Wir haben das Verhalten einer geometrischen Folge.

Der Stern ist eine Verallgemeinerung des Goldenen Sterns.

Wir erkennen im Stern eckige logarithmische Spiralen (Abb. 15).

 

Abb. 15: Eckige logarithmische Spiralen

 

3.2    Hintergrund

Die Trapeze in der Abbildung 4 haben zwar gleiche Winkel, nicht aber gleiche SeitenverhŠltnisse. Allerdings haben die SeitenverhŠltnisse einen Grenzwert. ãJanz weit au§enÒ nŠhern sich die Trapeze formmŠ§ig einem Grenztrapez an. FŸr die Verallgemeinerung des Goldenen Sterns beginnen wir gleich mit diesem Grenztrapez und ergŠnzen zum Stern.

3.3    Beispiele

FŸr die Beispiele mit verschiedenen Spitzenzahlen k verschaffen wir und zunŠchst einen †berblick Ÿber die Grenzwerte der SeitenverhŠltnisse (Tab. 2).

 

k

Grenzwert

Grenzwert

Kehrwert

1

1

1

1

2

2.414213562

0.4142135624

3

2.188901060

0.4568502516

4

1.931851653

0.5176380901

5

1.747738485

0.5721679808

6

1.618033988

0.6180339890

7

1.523954883

0.6561874050

8

1.453405903

0.6880390385

9

1.398891837

0.7148515515

10

1.355674294

0.7376403052

Tab. 2: Grenzwerte

 

Die Zahlen k = 1 und k = 2 sind fŸr unseren geometrischen Kontext irrelevant.

FŸr k = 6 erhalten wir den Goldenen Schnitt. Das ist insofern bemerkenswert, als wir Ÿblicherweise den Goldenen Schnitt im Zusammenhang mit der Zahl 5 antreffen.

Und nun einige Beispiele.

 

Abb. 16: Drei Spitzen

 

Abb. 17: Vier Spitzen

 

Abb. 18: FŸnf Spitzen

 

Abb. 19: Sechs Spitzen. Goldener Stern

 

Abb. 20: Zehn Spitzen

 

Literatur

Plaza, Angel and Walser, Hans (2013): Proof Without Words: Fibonacci Triangles and Trapezoids. Mathematics Magazine. 86 (2013) p. 55.

Walser, Hans (2012): Fibonacci. Zahlen und Figuren. Leipzig, EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-60-8.

Walser, Hans (6. Auflage). (2013). Der Goldene Schnitt. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.