Hans Walser, [20140114]

SpielwŸrfel

Anregung: A. L., S.

1     Wie viele gibt es?

Wie viele SpielwŸrfel gibt es unter der Bedingung, dass die Summe der Augenzahlen auf gegenŸberliegenden Seiten immer 7 betragen soll?

2     Die Lšsung

Es gibt 16 SpielwŸrfel. Die Abbildung 1 illustriert die 16 Beispiele unter relevanter Sicht.

Abb. 1: Die 16 SpielwŸrfel

3     BegrŸndung

3.1    Zahlverteilungen

Wir Ÿberlegen zunŠchst die Zahlverteilungen, ohne RŸcksicht auf die Darstellung der Zahlen im Augensystem.

Die Zahlen 1 und 2 ergŠnzen sich nicht auf 7, sie kšnnen also nicht auf gegenŸberliegenden WŸrfelseiten liegen. Daher liegen sie auf WŸrfelseiten, welche aneinandersto§en, also eine WŸrfelkante gemeinsam haben. Ebenso haben die WŸrfelseiten mit den Zahlen 1 und 3 eine WŸrfelkante gemeinsam und schlie§lich auch die WŸrfelseiten mit den Zahlen 2 und 3. Das hei§t, dass die WŸrfelseiten mit den Zahlen 1, 2 und 3 an einer Ecke zusammensto§en (Abb. 2). Sie kšnnen das entweder im Uhrzeigersinn (Abb. 2a) oder im Gegenuhrzeigersinn (Abb. 2b) tun.

Abb. 2: Die Zahlen 1, 2 und 3

Durch die Position der Zahlen 1, 2 und 3 ist aber auch die Position ihrer ErgŠnzungszahlen 6, 5 und 4 festgelegt. Es gibt also nur zwei Mšglichkeiten, wie die Zahlen 1 bis 6 auf dem WŸrfel verteilt werden kšnnen. Diese beiden Mšglichkeiten sind spiegelbildlich.

3.2    Symbolische Darstellung mit Augen

Die Zahlen 1, 4 und 5 haben eine symbolische Darstellung mit Augen, welche je eine vierteilige Drehsymmetrie aufweist. Die Symbole kšnnen also nur auf je eine Art auf einer WŸrfelseite platziert werden (Abb. 3).

Abb. 3: Augenzahlen 1, 4 und 5

Anders mit der symbolischen Darstellung fŸr die Zahlen 2, 3 und 6. Hier gibt es je zwei Anordnungsmšglichkeiten (Abb. 4).

Abb. 4: Augenzahlen 2, 3, und 6

3.3    Anzahl SpielwŸrfel

Wir haben jetzt also 2 Mšglichkeiten der Anordnung der Zahlen, sowie fŸr die drei Zahlen 2, 3 und 6 je zwei Mšglichkeiten, die symbolische Darstellung mit Augen auf einer WŸrfelseite zu platzieren. Damit ist die Gesamtzahl der mšglichen SpielwŸrfel:

 

 

In der Abbildung 1 ist das so illustriert, dass wir jeweils den SpielwŸrfel Ÿber die Ecke ansehen, an der die WŸrfelseiten mit den Zahlen 2, 3 und 6 zusammensto§en.

Die Abbildung 5 zeigt drei der 16 Mšglichkeiten.

Abb. 5: Unterschiedliche SpielwŸrfel

4     Varianten

4.1    Arabische Zahlen

Wenn wir den SpielwŸrfel mit arabischen Zahlen (korrekt wŠre, von indischen Zahlen zu reden) belegen, und zwar so, dass die Schreibzeile der Zahlen jeweils parallel zu einer WŸrfelkante ist, ergeben sich fŸr jede Zahl vier Platzierungsmšglichkeiten. Somit haben wir insgesamt  Mšglichkeiten. Wir sehen, dass die symbolische Darstellung mit Augen aus SymmetriegrŸnden stark vereinfacht.

4.2    Keine Siebener-Bedingung

Wenn wir auf die Bedingung verzichten, dass die Summe der Augenzahlen auf gegenŸberliegenden Seiten immer 7 betragen soll, gibt es zunŠchst 30 Mšglichkeiten, die Zahlen 1 bis 6 auf WŸrfelseiten zu platzieren. Dies kann so eingesehen werden: Wir denken uns oben die 1. Dann gibt es noch 5 freie WŸrfelseiten, die mit den Zahlen 2 bis 6 belegt werden kšnnen. Das gibt 5! = 120 Mšglichkeiten. Allerdings haben wir jetzt jede Mšglichkeit vier Mal gezŠhlt, da wir den WŸrfel um die senkrechte Achse um 90¡, 180¡ oder 270¡ drehen kšnnen. Somit gibt es nur 120/4 = 30 Mšglichkeiten. Da wir fŸr die symbolische Darstellung der Zahlen 2, 3 und 6 je zwei Mšglichkeiten haben, ergeben sich insgesamt  Mšglichkeiten.


 

4.3    BuchstabenwŸrfel

Als Beispiel belegen wir die WŸrfelseiten mit Buchstaben gemŠ§ Abbildung 6.

Abb. 6: Buchstaben

FŸr die Buchstaben A, E, L, M haben wir nun je vier Platzierungsmšglichkeiten, fŸr die Buchstaben N und S wegen der Punktsymmetrie nur je zwei. Die Gesamtzahl der SpielwŸrfel ist nun .