Hans Walser, [20150801]

SphŠrische Vielecke

Anregung: H. E., P.

1     Worum geht es?

Die FlŠchenformel fŸr sphŠrische Vielecke, insbesondere sphŠrische Dreiecke, lŠsst sich einfach und konsistent mit Hilfe der Au§enwinkel herleiten.

2     SphŠrisches Dreieck

Die Abbildung 1 zeigt ein sphŠrisches Dreieck mit der Ÿblichen Bezeichnung.

 

Abb. 1: SphŠrisches Dreieck

 

Ein sphŠrisches Dreieck ist durch drei Gro§kreise begrenzt (Abb. 2).

 

Abb. 2: Drei Gro§kreise

 

Die drei Gro§kreise begrenzen insgesamt acht sphŠrische Dreiecke, darunter insbesondere das Gegendreieck zum ursprŸnglichen Dreieck (Abb. 3). Das Gegendreieck ist punktsymmetrisch zum ursprŸnglichen Dreieck. Symmetriezentrum ist der Kugelmittelpunkt. Das Gegendreieck ist also kongruent und insbesondere flŠchengleich zum ursprŸnglichen Dreieck. Es hat – fŸr unsere †berlegungen aber nicht relevant – ungleiche Orientierung zum ursprŸnglichen Dreieck.  Dies liegt daran, dass die Punktspiegelung im Raum die Orientierung umkehrt.

 

Abb. 3: Gegendreieck

 

Und nun trennen wir auf jedem Gro§kreis einen Bogen heraus (Abb. 4). †brig bleiben das Dreieck, sein Gegendreieck sowie drei zu den Au§enwinkeln gehšrende sphŠrische Zweiecke.

 

Abb. 4: Dreieck, Gegendreieck und drei Zweiecke

 

Die Abbildung 5 zeigt die Vorderseite in Farbe und mit den Beschriftungen der Au§enwinkel.

 

Abb. 5: Die drei Zweiecke

 

Und nun zur FlŠchenberechnung. Auf einer Kugel mit dem Radius r hat das zum Au§enwinkel  gehšrende Zweieck den FlŠchenanteil:

 

 

Die gesamte KugeloberflŠche wir genau zugedeckt durch das Dreieck, sein flŠchengleiches Gegendreieck und die drei Au§enwinkelzweiecke. Somit ist:

 

 

Daraus ergibt sich die FlŠchenformel:

 

                                                                                      (1)

 

Die DreiecksflŠche ist also bis auf den Faktor  die ErgŠnzung der Au§enwinkelsumme auf den vollen Winkel .

In der sphŠrischen Geometrie ist die Au§enwinkelsumme kleiner als der volle Winkel .

Wer es aus TraditionsgrŸnden doch lieber mit den Innenwinkeln hat, setzt ,  und  in (1) ein und erhŠlt die Ÿbliche Formel:

 

                                             

                                                                  (2)

3     Modell

Die Abbildung 6 zeigt ein Modell aus Halbkarton. Es besteht aus drei Kreisscheiben, welche lŠngs eines Durchmessers zu einem Zweieck gefaltet werden.

 

Abb. 6: Modell

 

Die drei Zweiecke werden mit BŸroklammern verheftet. Dazwischen entsteht als Loch das sphŠrische Dreieck.

Mit dieser Technik kann stufenlos jedes beliebige sphŠrische Dreieck dargestellt werden.

†ber dem sphŠrischen Dreieck haben wir nach innen eine Pyramide mit der Spitze im Kugelzentrum. †ber dem Gegendreieck gibt es eine punktgespiegelte Gegenpyramide.

Dies ist Anlass zu einer kleinen Volumenrechnerei. FŸr das Volumen des zum Au§enwinkel  gehšrenden Zweieck-Schnitzes gilt:

 

 

Die ganze Kugel setzt sich zusammen aus der Pyramide, der Gegenpyramide und den drei Au§enwinkelschnitzen:

 

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

Wegen (1) ist:

 

 

Das war zu erwarten.

4     SphŠrische Vielecke

FŸr ein sphŠrisches n-Eck geht die FlŠchen-†berlegung analog zum sphŠrischen Dreieck. Die Abbildung 7 zeigt die Situation fŸr ein sphŠrisches FŸnfeck.

 

Abb. 7: SphŠrisches FŸnfeck

 

Mit den Au§enwinkeln  gilt:

 

 

Daraus erhalten wir:

 

                                                                                               (3)

 

Die VieleckflŠche ist also bis auf den Faktor  die ErgŠnzung der Au§enwinkelsumme auf den vollen Winkel .  

Umrechnen auf Innenwinkel ergibt:

 

                                                                                      (4)

 

5     Didaktische Bemerkungen

Nach meiner Erfahrung ist die direkte FlŠchenberechnung mit den Innenwinkeln schon beim Dreieck recht kompliziert, weil man mit †berlagerungen der Innenwinkelzweiecke arbeiten muss. Die Verallgemeinerung auf das n-Eck ist dann nur noch rechnerisch durch AnfŸgen von Dreiecken induktiv machbar. Eine direkte geometrische †berlegung ist nicht mšglich.

Die Au§enwinkelformeln (1) und (3) sind konsistent. Die Innenwinkelformeln (2) und (4) enthalten einen Zusatzfaktor, in welchen die Eckenzahl n eingeht.

Einen analogen Sachverhalt haben wir ja schon in der ebenen Geometrie: Die Au§enwinkelsumme eines n-Ecks ist unabhŠngig von der Eckenzahl n die Konstante . FŸr die Innenwinkelsumme gilt eine Formel, die ich mir schon als SchŸler nie habe merken kšnnen.