Hans Walser, [20170117]

Skalarprodukt

Anregung: M. Sch.

1     Worum geht es?

Das Skalarprodukt zweier Vektoren kann auf zwei Arten als RechteckflŠche dargestellt werden. Es werden zwei Zerlegungen dazu gezeigt.

2     Rechtecke

Das Skalarprodukt zweier Vektoren, die einen spitzen Winkel einschlie§en, kann auf zwei Arten als RechteckflŠche dargestellt werden (Abb. 1). Die beiden Rechtecke sind natźrlich flŠchengleich.

Abb. 1: FlŠchengleiche Rechtecke

3     Zerlegungsbeweis mit Drehungen um 90ˇ

Die Abbildung 2 zeigt einen Zerlegungsbeweis mit drei Teilen. Entsprechende Teile gehen durch eine Drehung um 90ˇ auseinander hervor.

Abb. 2: Drehungen um 90ˇ

4     Zerlegungsbeweis mit Translationen

Im Zerlegungsbeweis der Abbildung 3 gehen entsprechende Teile durch Translationen auseinander hervor.

Abb. 3: Translationen

5     Im Dreieck

Wir setzen einem beliebigen spitzwinkligen Dreieck Quadrate an und zeichnen die drei Hšhen und ihre VerlŠngerungen. Dann haben wir fźr jeden Winkel die Situation der Abbildung 1 (Abb. 4). Rechtecke gleicher Farbe haben gleiche FlŠcheninhalte.

Abb. 4: Im Dreieck

Wir kšnnen wiederum mit Zerlegungsbeweisen arbeiten.

6     Zerlegungsbeweis mit Drehungen um 90ˇ

Abb. 5: Drehungen um 90ˇ

Wer ein scharfes Auge hat, erkennt ein kleines rotes Dreieck und seinen Partner sowie ein noch kleineres schwarzes Dreieck mit Partner.

7     Zerlegungsbeweis mit Translationen

Abb. 6: Translationen

Es gibt noch weitere Lšsungen mit ausschlie§lich Translationen.