Hans Walser, [20080303a], [20131216b]
Sehnenviereck
Diese Studie wurde angeregt durch die Frage, wie sich ein Sehnenviereck aus den vier Seiten konstruieren lŠsst.
Sehnenviereck gemŠ§ Figur.
Sehnenviereck
Aus PeripheriewinkelsŠtzen folgt
Wie
lŠsst sich ein Sehnenviereck aus seinen vier Seiten a, b, c, d
bestimmen?
Es
genŸgt, wenn wir noch einen Winkel kennen.
Der
Kosinussatz im Dreieck ABC
liefert:
Der
Kosinussatz im Dreieck CDA
liefert:
Wegen
ist und daher . Durch Gleichsetzen
erhalten wir:
Damit lŠsst sich der Winkel konstruieren, sofern ; dies kann durch allfŠlliges Umbezeichnen der Daten erreicht werden.
Durch
zyklische Vertauschung ergibt sich die Formelgruppe:
Einsetzen
von in liefert:
Somit
ist:
Analog:
Auch diese Diagonalen lassen sich konstruieren.
Wir
multiplizieren die beiden Diagonalen:
Das
ist der Satz des PtolemŠus:
Sonderfall:
In einem Rechteck ist , , und daher:
Der
Satz von PtolemŠus enthŠlt also den Satz des Pythagoras.
Wir berechnen die FlŠcheninhalte der Dreiecke ABC und CDA separat nach der Formel ãSeite mal Seite mal Sinus des Zwischenwinkels durch 2Ò.
Aus ergibt sich . Wegen ist . Damit erhalten wir fŸr den FlŠcheninhalt des Sehnenviereckes:
Der Radikand ist scheinbar nicht symmetrisch in a, b, c, d; durch Expandieren erhalten wir aber:
Mit kann dieser Term umgeschrieben werden zu:
Damit
erhalten wir:
Dies ist die Formel von Brahmagupta (598-668). Als Sonderfall erhalten wir daraus die Heronsche Formel: Jedes Dreieck kann als Sehnenviereck mit gesehen werden. Damit ist:
Wie kann geprŸft werden, ob vier durch Koordinaten gegebene Punkte auf einem Kreis liegen, also die Ecken eines Sehnenviereckes sind?
Wir nehmen an, die vier Punkte A, B, C, D liegen in zyklischer Reihenfolge auf dem Kreis. Wir interpretieren die vier Punkte als komplexe Zahlen und bilden die komplexen Seiten:
Dann ist:
Damit wird:
Das Produkt ist also reell und negativ.
Beispiel: , , ,
Beispiel
Wir erhalten: , , , und weiter:
Beispiel: Es sei B zwischen A und D und C zwischen D und A.
ã†berschlagenes SehnenviereckÒ
Aus PeripheriewinkelsŠtzen folgt . Damit erhalten wir:
Das Produkt ist reell und positiv.
Beispiel: , , , . Damit wird: , , , und weiter:
Wenn umgekehrt D nicht auf dem Umkreis des Dreieckes ABC liegt, stimmen obige Relationen nicht.
Vier Punkte A, B, C, D sind genau dann kozyklisch, wenn . Als Sonderfall kšnnen die vier Punkte auf einer Geraden liegen.