1 Problemstellung

Gegeben sind zwei Kreise k₁(M₁, r₁) und k₂(M₂, r₂), ein Punkt P und ein Verhältnis v.

Gesucht ist eine Gerade durch P, welche aus den Kreisen k₁ und k₂ zwei Sehnen s₁ beziehungsweise s₂ mit dem Längenverhältnis v herausschneidet.

2 Konstruktion

Zu den beiden Kreisen k₁ und k₂ zeichnen wir drei gemeinsame Tangenten und unterteilen die Tangentenabschnitte zwischen den Berührungspunkten im Verhältnis v. Durch die drei Teilpunkte legen wir den Kreis k. Falls wir nur zwei gemeinsame Tangenten haben, wählen wir als dritten Punkt für k einen Schnittpunkt der beiden gegebenen Kreise.

Die Strecke M₁M₂ unterteilen wir ebenfalls im Verhältnis v. Teilpunkt O.

Über OP zeichnen wir den Thaleskreis t.

Wir schneiden k und t. Schnittpunkt S.

PS ist die gesuchte Gerade. Die Konstruktion ist mit Zirkel und Lineal durchführbar.

3 Illustration der Konstruktion

Die Abbildung 1 zeigt die gegebenen Daten. In den Abbildungen ist v = 2:1.

Abb. 1: Zwei Kreise und ein Punkt

Zu den beiden Kreisen k₁ und k₂ zeichnen wir drei gemeinsame Tangenten und unterteilen die Tangentenabschnitte zwischen den Berührungspunkten im Verhältnis v (rot in Abb. 2).

Abb. 2: Unterteilung der Tangentenabschnitte

Durch die drei Teilpunkte legen wir den Kreis k (Abb. 3). Dieser Kreis ist ein so genannter Chordalkreis.

Abb. 3: Chordalkreis

Die Strecke M₁M₂ unterteilen wir ebenfalls im Verhältnis v. Teilpunkt O (Abb. 4).

Abb. 4: Teilpunkt zwischen Mittelpunkten

Über der Strecke OP zeichnen wir den Thaleskreis t (Abb. 5). Wir schneiden k und t. Schnittpunkt S.

Abb. 5: Thaleskreis

PS ist die gesuchte Gerade (Abb. 6).

Abb. 6: Lösung

Websites

Abgerufen 5. Juni 2016

Chordalkreis:

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/C/Chordalkreis/Chordalkreis.htm