1 Problemstellung

Zu einem gegebenen Quadrat ist folgendes gesucht:

Aufgabe 1: Das größte regelmäßige Sechseck, das dem Quadrat einbeschrieben werden kann.

Aufgabe 2: Das kleinste regelmäßige Sechseck, welches dem Quadrat so einbeschrieben werden kann, dass alle vier Quadratseiten vom Sechseck berührt werden.

2 Bearbeitung

Die beiden Aufgaben haben dieselbe Lösung (Abb. 1). Die Quadratdiagonalen sind auch Symmetrieachsen des Sechseckes.

Abb. 1: Sechseck im Quadrat

Die Abbildung 2 illustriert den Sachverhalt, ausgehend vom kleinsten Sechseck, das gerade noch drei Quadratseiten berührt.

Abb. 2: Sechsecke im Quadrat

3 Berechnungen

Wir setzen die Quadratseite 2.

Das gesuchte Sechseck hat dann die Seitenlänge s = √6 – √2 ≈ 1.035 (mit Pythagoras berechenbar).

Der Flächenanteil des Sechseckes an der Quadratfläche ist 3√3 – 9/2 ≈ 0.696.

4 Zusatz

Zum Sechseck (Abb. 1) ist folgendes gesucht:

Aufgabe 3: Das größte Quadrat, das diesem Sechseck einbeschrieben werden kann.

Aufgabe 4: Das kleinste Quadrat, dessen vier Ecken auf dem Rand des Sechseckes liegen.

Die Abbildung 3 zeigt die Lösung.

Abb. 3: Quadrat im Sechseck

Weblinks

Thomas Jahre: Aufgabe 62 – 736

https://www.schulmodell.eu/aufgabe-der-woche.html