Hans Walser, [20120401]

Schwerpunkte nach Archimedes

1        Worum es geht

Wir konstruieren den Eckenschwerpunkt eines Vieleckes nach den Hebelgesetzen. Die Frage ist, auf wie viele Arten dies mšglich ist.

2        Beispiele

2.1      Eineck

Das Eineck besteht nur aus einem Punkt, und dieser ist sein eigener Schwerpunkt.

2.2      Zweieck

Bei zwei Punkten ist der Mittelpunkt ihrer Strecke der Schwerpunkt. Diese Konstruktion kann nur auf eine Art durchgefŸhrt werden (Abb. 1).

Abb. 1: Der Mittelpunkt ist Schwerpunkt

2.3      Dreieck

Wir verbinden zwei der drei Dreiecksecken. Deren Schwerpunkt ist der Mittelpunkt. In diesem Punkt hŠngen zwei Massen. Nun verbinden wir diesen (lokalen) Schwerpunkt mit der dritten Dreiecksecke, wir zeichnen also die Seitenhalbierende. Da wir an einem Ende (Seitenmitte) dieser Seitenhalbierenden zwei Massen haben, am anderen Ende (Dreiecksecke) aber nur eine, mŸssen wir fŸr den Schwerpunkt dritteln. Der Schwerpunkt ist ein Drittel von der Seitenmitte entfernt. Das ist dann auch der Schwerpunkt aller drei Dreiecksecken.

Diese Konstruktion kann auf drei Arten durchgefŸhrt werden (Abb. 2).

Abb. 2: Drei Konstruktionen des Schwerpunktes

Die †berlagerung der drei Figuren ist von der Schule her bekannt (Abb. 3).

Abb. 3: †berlagerung

Das gelb markierte Dreieck (Seitenmittendreieck) ist lŠngenmŠ§ig halb so gro§ wie das Ausgangsdreieck. Es ergibt sich aus dem Ausgangsdreieck durch eine zentrische Streckung am Schwerpunkt mit dem Faktor . Der FlŠcheninhalt des gelben Dreiecks ist ein Viertel des FlŠcheninhaltes des Ausgangsdreieckes. Dies kann durch eine Parkettierung gezeigt werden.

2.4      Viereck

Die Abbildung 4 zeigt ein Beispiel fŸr das Viereck. Zuerst wird halbiert (rot), dann gedrittelt (grŸn) und dann geviertelt (blau).

Abb. 4: Viereck

Es geht aber auch anders (Abb. 5). Da wird ausschlie§lich halbiert.

Abb. 5: Halbieren

Auf wie viele Arten kann im Viereck der Schwerpunkt nach Archimedes gefunden werden?

FŸr Konstruktionen vom Typ der Abbildung 4 wŠhlen wir zunŠchst einen Eckpunkt (4 Mšglichkeiten) und verbinden mit einem anderen Eckpunkt (3 Mšglichkeiten, rot). Dann zeichnen wir den Mittelpunkt dieser Strecke (rot) und verbinden mit einem weiteren Eckpunkt (noch 2 Mšglichkeiten, grŸn. Diese Strecke dritteln wir. Der Drittelpunkt (grŸn) nŠher beim Mittelpunkt des ersten Konstruktionsschrittes ist der Schwerpunkt der bislang verwendeten Eckpunkte. Wir verbinden diesen grŸnen Schwerpunkt mit der verbleibenden Ecke (nur eine Mšglichkeit, blau) und vierteln. Der Viertelpunkt (blau) nahe beim Schwerpunkt des zweiten Konstruktionsschrittes ist der Schwerpunkt der vier Eckpunkte.

Der erste Schritt (rot) wird bei dieser kombinatorischen AbzŠhlung allerdings doppelt gezŠhlt. FŸr die Gesamtzahl der Konstruktionen nach dem Typ der Abbildung 4 ergeben sich somit  Mšglichkeiten. Die Abbildung 6 listet diese explizit auf.

Abb. 6: Die zwšlf Beispiele

FŸr die Konstruktionen vom Typ der Abbildung 5 mŸssen wir die 4 Eckpunkte in Paare aufteilen. Dazu gibt es  Mšglichkeiten. Der Mittelpunkt der Mittelpunkte der beiden Paare ist jeweils der Schwerpunkt der vier Ecken. Bei diesen Konstruktionen mŸssen wir lediglich halbieren. Die Abbildung 7 listet die drei FŠlle explizit auf.

Abb. 7: Drei FŠlle mit Halbieren

Es gibt also insgesamt 15 FŠlle. Die Abbildung 8 zeigt die †berlagerung dieser 15 FŠlle.

Abb. 8: †berlagerung

Die drei in der Abbildung 9 markierten Viereck sind Parallelogramme. Das erste ist ein LadenhŸter der Schulgeometrie.

Abb. 9: Drei Parallelogramme

Das in der Abbildung 10 markierte gelbe Viereck ist Šhnlich zum Ausgangsviereck. Es ergibt sich aus dem Ausgangsviereck durch eine zentrische Streckung am Schwerpunkt mit dem Faktor .

Abb. 10: €hnliches Viereck

FlŠchenmŠ§ig ist das gelbe Viereck ein Neuntel des Ausgangsviereck. Ein Versuch, dies durch eine Parkettierung zu zeigen, scheitert (Abb. 11). An den Ecken des Ausgangsviereckes erscheinen Parallelogramme, welche nicht gleich gro§ sind.

Abb. 11: Keine Parkettierung

Wenn wir doch parkettieren (man kann mit jedem Viereck ein Parkett bauen), ergibt sich eine Umrissfigur mit neun Ecken, welche FlŠchengleich zum Ausgangsviereck ist (Abb. 12).

Abb. 12: Parkettierung

Die FlŠchengleichheit der beiden Figuren kann auch mit einem Zerlegungsbeweis gezeigt werden (Abb. 13).

Abb. 13: Zerlegungsbeweis

2.5      FŸnfeck

Die Abbildung 14 zeigt zwei verschiedene Beispiele fŸr das FŸnfeck. Die gefŸllten Punkte illustrieren die benštigten TeilverhŠltnisse. Der Schwerpunkt ist schwarz gezeichnet.

Abb. 14: FŸnfeck

Wer Lust hat, kann sich Ÿberlegen, wie viele FŠlle es beim FŸnfeck insgesamt gibt.


3        AbzŠhlung

Wir bezeichnen mit  die Anzahl der FŠlle beim n-Eck.

3.1      Bereits bekannte Beispiele

Aus unseren Beispielen erhalten wir die Tabelle 1.

Tab. 1: Beispiele

3.2      Eine Rekursionsformel

Wir gehen davon aus, dass wir  fŸr  kennen und suchen eine Rekursionsformel fŸr .

Dazu unterteilen wir die n in zwei nichtleere disjunkte Teilmengen von k und  Punkten. Dies geht auf  Arten. Zur Teilmenge von k Punkten kšnnen wir auf   Arten den Schwerpunkt konstruieren, zur KomplementŠrmenge auf  Arten. Nun unterteilen wir die Verbindungsstrecke der Schwerpunkte der beiden Teilmengen im VerhŠltnis  und erhalten so den Schwerpunkt der n Punkte. Somit ist:

Der Faktor  ist erforderlich, weil die Teilmengen fŸr j Punkte sowohl fŸr  wie auch fŸr  berŸcksichtigt werden. Die Summe lŠuft von 1 bis , weil die Teilmengen mindestens 1 und hšchstens  Elemente enthalten.

Mit Hilfe dieser Rekursionsformel und dem Startwert  erhalten wir die Werte der Tabelle 2, Spalte 2.

Tab. 2: Beispiele. Zerlegung

Die Zahlen werden rasch gro§. Aus der dritten Spalte der Tabelle 2 ergibt sich die Vermutung fŸr eine explizite Formel:

FŸr den Beweis dieser expliziten Formel arbeiten wir mit den Catalan-Zahlen. Die Anregung dazu erhielt ich von P. W. in A.. 

3.3      Catalan-Zahlen

Eugne Charles Catalan, (1814 in BrŸgge – 1894), belgischer Mathematiker

Definition der Catalan-Zahlen:

Numerisch:

FŸr die Catalan-Zahlen gilt die Rekursion von Segner 1758 (Johann Andreas von Segner,  1704 in Pressburg (Bratislava) – 1777 in Halle):

Mit Hilfe der Catalan-Zahlen kšnnen wir die vermutete explizite Formel umschreiben:

3.4      Beweis der expliziten Formel

Zu zeigen ist:  erfŸllt die Rekursion

mit dem Startwert .

Startwert:  ok.

Rekursion:

Linke Seite:

Rechte Seite:

Nun verwenden wir die Rekursion von Segner:

ZunŠchst ist:

Durch Umindizieren ergibt sich:

Somit erhalten wir fŸr die rechte Seite:

Dies ist gleich der linken Seite.

Die explizite Formel ist bewiesen.