Hans Walser, [20230405]

Schrägverzahnung

Anregung: Rudolf Hrach, Siegen

1 Worum geht es?

Spiel mit zwei einschaligen Rotationshyperboloiden

2 Die beiden Hyperboloide

Das gelbe Hyperboloid (Abb. 1) hat die Gleichung:

(1)

Das hellblaue Hyperboloid hat die Gleichung:

(2)

Abb. 1: Die beiden Hyperboloide

3 Schnittfigur

Für die Schnittfigur der beiden Hyperboloide lösen wir das Gleichungssystem:

(3)

Wir erhalten die Lösung:

(4)

Dies sind zwei Geraden (Abb. 2). Die beiden Geraden sind orthogonal.

Abb. 2: Schnittgeraden

Die beiden Hyperboloide berühren sich längs dieser beiden Geraden.

Die Abbildung 3 zeigt die Sicht von oben

Abb. 3: Sicht von oben

In der Abbildung 4 sind die beiden Hyperboloide transparent gezeichnet.

Abb. 4: Transparente Hyperboloide

Die Abbildung 5 zeigt die Sicht von der Seite.

Abb. 5: Sicht von der Seite

Die Abbildung 6 zeigt einen Aufschnitt durch die Ebene der beiden Geraden.

Abb. 6: Aufschnitt

4 Geradenscharen

Die beiden Hyperboloide enthalten je zwei Scharen von Geraden (Abb. 7). Die Schnittgeraden der beiden Hyperboloiden gehören ebenfalls zu diesen Scharen.

Abb. 7: Je zwei Geradenscharen

In der Abbildung 8 ist nur je eine Schar gezeichnet. In der Schnittfigur der beiden Hyperboloide ist es dieselbe Gerade.

Abb. 8: Je eine Schar

5 Rotationen

Wir lassen nun die beiden Hyperboloide je um ihre Achse rotieren (Abb. 9). Die relativen Drehsinne sind so gewählt, dass die Situation als Getriebe mit schräger Verzahnung gedeutet werden kann.

Abb. 9: Rotation

Die Abbildungen 10 und 11 zeigen schmalere Zahnräder.

Abb. 10: Schmale Zahnräder

Abb. 11: Ganz schmale Zahnräder

6 Schnittpunkte gedrehter Geraden

Wir verfolgen eine der beiden Schnittgeraden der beiden Hyperboloide bei deren Rotationen. In jeder Situation haben wir einen Schnittpunkt (der Punkt im Unendlichen mitgezählt). Die Schnittpunkte liegen auf der zweiten Schnittgeraden der beiden Hyperboloide (rot in Abb. 12).

Abb. 12: Schnittpunkte gedrehter Geraden