Hans Walser, [20200217]

RegelmŠ§ige Vielecke ungerader Eckenzahl am Dreieck

1     Worum geht es?

Spiel mit kollinearen Punkten, konstanten TeilverhŠltnissen und kopunktalen Geraden. Vermutungen.

2     Disposition

Es sei u = 2m – 1 eine ungerade Zahl, u ³ 5.

Einem beliebigen Dreieck  setzen wir an den Seiten regelmŠ§ige u-Ecke an (Abb. 1 fŸr u = 7).

Abb. 1: RegelmŠ§ige u-Ecke

Wir beschriften gemŠ§ Abbildung 1. Es ist in der Zeichnung nicht eingetragen:

 

                                                                                                   (1)

 

 

 

 

 

Wir ergŠnzen die drei Punkte ,  (erster Index von B modulo 3) zum Parallelogramm  (Abb. 2).

Abb. 2: Parallelogramme

3     Vermutungen

Die folgenden Vermutungen sind fŸr u = 5, 7, 9 und 11 mit DGS numerisch ŸberprŸft.

3.1    Kollineare Punkte

Die Punkte  sind kollinear (Abb. 3).

Abb. 3: Kollineare Punkte

3.2    Konstante TeilverhŠltnisse

 

                                                                                               (2)

 

 

 

 

3.3    DiagonalenverhŠltnis

Dieses TeilverhŠltnis v ist auch das TeilverhŠltnis der zweitlŠngsten zur lŠngsten Diagonale im regelmŠ§igen u-Eck und kann wir folgt formalisiert werden:

 

                                                             (3)

 

 

 

 

Die Tabelle 1 gibt die ersten numerischen Werte.

 

m

u

v

3

5

0.6180339887

4

7

0.8019377357

5

9

0.8793852415

6

11

0.9189859474

7

13

0.9418836350

8

15

0.9562952016

9

17

0.9659461994

10

19

0.9727226068

Tab. 1: VerhŠltnisse

Wir erkennen beim regelmŠ§igen FŸnfeck den Goldenen Schnitt (Walser 2013). In diesem Beispiel ist die zweitlŠngste Diagonale die FŸnfeckseite.

4     Kopunktale Geraden

Die drei Geraden  haben einen gemeinsamen Schnittpunkt S (Abb. 4). Dieser Schnittpunkt liegt auf der Kiepertschen Hyperbel h des Dreieckes . Dies folgt aus einem Satz von Jacobi (Walser 2012, S. 153-156). Die Kiepertsche Hyperbel ist definiert durch die drei Eckpunkte des Dreiecks, seinen Schwerpunkt und seinen Hšhenschnittpunkt. Es ist eine gleichseitige Hyperbel.

Abb. 4: Gemeinsamer Schnittpunkt

5     Weitere Vermutungen

Es gibt viele weitere Vermutungen im Umfeld unserer Figur. Wir kšnnen etwa gemŠ§ Abbildung 5 Parallelogramme einfŸgen. Die Diagonale D0A0 verlŠuft nun nicht mehr durch den Punkt B00. Die drei Diagonalen D0A0, D1A1 und D2A2  haben aber einen gemeinsamen Schnittpunkt T, und dieser liegt ebenfalls auf der Kiepertschen Hyperbel h (Abb. 5). Numerisch ŸberprŸft.

Abb. 5: Andere Parallelogramme

Beispiele dieser Art funktionieren auch mit regelmŠ§igen Vielecken gerader Eckenzahl (Abb. 6). Numerisch ŸberprŸft. Beim Schnittpunkt handelt es sich in diesem speziellen Beispiel um den Fermat-Punkt (Walser 2012, S. 155). Die roten Geraden verlaufen durch die Mittelpunkte der Sechsecke. Sie schneiden sich unter Winkeln von 60¡. Die eingezeichneten Diagonalen der Parallelogramme sind alle gleich lang und ebenso lang wie die Strecke von der Dreiecksecke zum Sechseckmittelpunkt.

Abb. 6: Gerade Eckenzahl

Literatur

Walser, Hans (2012): 99 Schnittpunkte. Beispiele – Bilder – Beweise. 2. Auflage. EAGLE, Edition am Gutenbergplatz: Leipzig. ISBN 978-3-937219-95-0

Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.

 

Websites

Hans Walser: Schnittpunkte

http://www.walser-h-m.ch/hans/Schnittpunkte/

Hans Walser: Schlussstriche

http://www.walser-h-m.ch/hans/Schlussstriche/