Hans Walser, [20230805]

Rhombentriakontaederzerlegung

1 Worum es geht

Zerlegung des Rhombentriakontaeders in Rhombenhexaeder

2 Das Rhombentriakontaeder

Die Abbildungen 1.1 bis 1.3 zeigen das Rhombentriakontaeder.

Abb. 1.1: Rhombentriakontaeder

Die Diagonalen in den Seitenrhomben stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes (Abb. 1.2). Man kann daher von Goldenen Rhomben sprechen.

Abb. 1.2: Diagonalen im Verhältnis des Goldenen Schnittes

Abb. 1.3: Kantengerüst

3 Goldene Rhombenhexaeder

Aus sechs Rhomben mit Diagonalen im Verhältnis des Goldenen Schnittes bauen wir ein Rhombenhexaeder. Interessanterweise gibt es zwei Lösungen, eine stumpfe Version (blau in Abb. 2) und eine spitze Version(rot in Abb. 2).

Abb. 2: Stumpfes und spitzes Goldenes Rhombenhexaeder

Beim stumpfen Goldenen Rhombenhexaeder gibt es zwei diametrale Eckpunkte (auf den Drehachsen), bei denen nur stumpfe Rhombenwinkel zusammenkommen. Beim spitzen Goldenen Rhombenhexaeder gibt es entsprechend zwei diametrale Eckpunkt mit nur spitzen Rhombenwinkeln. Die Abbildung 3 zeigt die Abwicklungen (Netze) der beiden Goldenen Rhombenhexaeder.

Abb. 3: Abwicklung des stumpfen und des spitzen Goldenen Rhombenhexaeders

Die beiden Goldenen Rhombenhexaeder haben dieselbe Oberfläche, bestehend aus je sechs Goldenen Rhomben. Die Volumina sind aber ungleich, das Volumen des spitzen Goldenen Rhombenhexaeders ist größer. Die Volumina verhalten sich wie der Goldene Schnitt. Das spitze Goldene Rhombenhexaeder ist also volumenmäßig der Major, das stumpfe Goldene Rhombenhexaeder entsprechend der Minor.

4 Zerlegung des Rhombentriakontaeders

Das Rhombentriakontaeder kann zerlegt werden in je zehn stumpfe und zehn spitze Goldene Rhombenhexaeder (Abb. 4).

Abb. 4: Zerlegung des Rhombentriakontaeders

5 Zwischenstationen

5.1 Rhombendodekaeder zweiter Art

Beim Aufbau erhalten wir nach vier Schritten einen von zwölf Goldenen Rhomben begrenzten Körper (Abb. 5). Er besteht aus zwei stumpfen und zwei spitzen Goldenen Rhombenhexaedern. Dieser Körper wird als Rhombendodekaeder zweiter Art oder auch als Bilinski-Rhombendodekaeder bezeichnet. Der Zusatz zweiter Art ist erforderlich zur Unterscheidung vom üblichen Rhombendodekaeder, dessen Rhomben ein Diagonalenverhältnis √2:1 haben. Das Rhombendodekaeder zweiter Art wurde 1960 von Bilinski (1960) beschrieben. Bilinski zeigte, dass es wie das übliche Rhombendodekaeder ein Raumfüller ist.

Abb. 5: Rhombendodekaeder zweiter Art

5.2 Rhombenikosaeder

Nach zehn Aufbauschritten mit dem Verbrauch von je fünf stumpfen und fünf spitzen Goldenen Rhombenhexaedern ergibt sich das Rhombenikosaeder (Abb. 6). Es hat zwanzig Rhomben auf seiner Oberfläche.

Abb. 6: Rhombenikosaeder

Literatur

Bilinski, Stanko (1960): Über Rhombenisoeder. Glasnik mat.-fiz. i astr. 15, 1960, No. 4, S. 251-262.

Weblink

Hans Walser: Rhombentriakontaeder

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Rhombentriakontaeder2/Rhombentriakontaeder2.html