Hans Walser, [20200315]

Rhombendodekaederstumpf

Anregung: F. R., L.

1   Worum geht es?

Frage nach Inkugel, KantenberŸhrkugel und Umkugel beim Rhombendodekaederstumpf.

2   Der Rhombendodekaederstumpf

Wir arbeiten mit einem Rhombendodekaeder und einem WŸrfel (Abb. 1).

Abb. 1: Rhombendodekaeder und WŸrfel

Die Abbildung 2 zeigt den Durchschnitt der beiden Kšrper.

Abb. 2: Durchschnitt

Dieser Kšrper kann als Rhombendodekaederstumpf gesehen werden, indem beim Rhombendodekaeder diejenigen Ecken, an denen vier spitze Rhombenwinkel zusammenkommen, abgestumpft werden.

Der Kšrper kann aber auch als abgeschrŠgter WŸrfel gesehen werden. Beim WŸrfel werden ãdie Kanten gebrochenÒ das hei§t in einem Winkel von 45¡ abgeschrŠgt.

Im Folgenden wird mit dem Konzept des Rhombendodekaederstumpfs gearbeitet.

3   Kugeln

Zu einem rŠumlichen Polyeder kann es drei spezielle Kugeln geben.

á            Die Inkugel berŸhrt alle SeitenflŠchen. Beim WŸrfel mit der KantenlŠnge 2 hat die Inkugel den Radius 1.

á            Die KantenberŸhrkugel berŸhrt, wie der Name sagt, alle Kanten. Beim WŸrfel mit der KantenlŠnge 2 hat die KantenberŸhrkugel den Radius . Sie berŸhrt  die Kanten in den Kantenmitten.

á            Die Umkugel verlŠuft durch alle Polyederecken. Beim WŸrfel mit der KantenlŠnge 2 hat die Umkugel den Radius .

Wir fragen nun, unter welchen Bedingungen eine dieser Kugeln beim Rhombendodekaederstumpf existiert.

Bemerkung: Da es zu einem ebenen Polygon nur die Begriffe Inkreis und Umkreis gibt, geht in der schulischen Raumgeometrie der Begriff KantenberŸhrkugel oft unter.

3.1  Inkugel

Abb. 3: Bedingung fŸr Inkugel

Eine Inkugel gibt es genau dann, wenn die Kanten des Rhombendodekaeders im VerhŠltnis  geteilt werden. Beweis durch Nachrechnen.

Die Abbildungen 1 und 2 basieren auf diesem TeilverhŠltnis.

Die Abbildung 4a zeigt den Rhombendodekaederstumpf  transparent und die Inkugel. Die Abbildung 4b zeigt die hintere HŠlfte des Rhombendodekaederstumpfs und die Inkugel. Die Halbierungsebene schneidet aus dem Rhombendodekaederstumpf ein regelmŠ§iges Achteck heraus. Dies erklŠrt das Auftreten von  in der Abbildung 3.

Abb. 4: Rhombendodekaederstumpf mit Inkugel

3.2  KantenberŸhrkugel

Abb. 5: Bedingung fŸr KantenberŸhrkugel

Eine KantenberŸhrkugel gibt es genau dann, wenn die Kanten des Rhombendodekaeders im VerhŠltnis  geteilt werden. Beweis durch Nachrechnen.

Die Abbildung 6a zeigt den Durchschnitt; in der Abbildung 6b ist die KantenberŸhrkugel eingezeichnet. Wir erhalten eine sphŠrische Kugelpackung von zwšlf gro§en und sechs kleinen Kreisen.

Abb. 6: Durchschnitt und KantenberŸhrkugel

3.3  Umkugel

Abb. 7: Bedingung fŸr Umkugel. Durchschnitt

Eine Umkugel gibt es genau dann, wenn die Kanten des Rhombendodekaeders im VerhŠltnis 1:2 geteilt werden (Abb. 7a). Beweis durch Nachrechnen. Die Abbildung 7b zeigt den Durchschnitt.

Die Abbildung 8 zeigt den Rhombendodekaederstumpf und die Umkugel in zwei verschiedenen Darstellungen.

Abb. 8: Umkugel