Hans Walser, [20120513]

Reuleaux-Dreieck, Tetraeder und Seifenblasen

Das Reuleaux-Dreieck kann durch geeignete Projektionen aus dem Tetraeder hergeleitet werden.

1        Das Reuleaux-Dreieck

Die Abbildung 1 zeigt das Reuleaux-Dreieck.

Abb. 1: Reuleaux-Dreieck

Es besteht aus drei Kreisbšgen, deren Zentren die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks sind. Das Reuleaux-Dreieck hat Ÿberall denselben Durchmesser, ist also ein so genanntes Gleichdick.

An den Ecken hat das Reuleaux-Dreieck Innenwinkel von 120¡.

2        Tetraeder

Wir beginnen mit einem regelmŠ§igen Tetraeder und zeichnen seine Umkugel (Abb. 2). Eine Tetraederecke, die Spitze, kommt in den Nordpol zu liegen. Die drei Ÿbrigen Tetraederecken liegen auf den Meridianen 0¡, 120¡E, 120¡W. Sie haben alle die Breite:

Das Bodendreieck des Tetraeders liegt also sŸdlich der €quatorebene.

Abb. 2: Tetraeder mit Umkugel

Nun projizieren wir die Kanten des Tetraeders auf die Umkugel. Dadurch entstehen vier regelmŠ§ige sphŠrische Dreiecke (Abb. 3).

Drei der sechs Gro§kreisbšgen gehen vom Nordpol aus, liegen also auf Meridianen.

 

Abb. 3: SphŠrische Dreiecke

Diese regelmŠ§igen sphŠrischen Dreiecke sind aus Gro§kreisbšgen zusammengesetzt und haben Innenwinkel von 120¡, da an jeder Ecke drei solche Dreiecke zusammensto§en.

Die sphŠrischen Dreiecke sind also gleich aufgebaut wie das Reuleaux-Dreieck. Wie bringen wir diese sphŠrischen Dreiecke in die Ebene?

3        Stereografische Projektion

Die stereografische Projektion ist eine konforme, das hei§t winkeltreue, Abbildung von der Kugel in die Ebene. Sie ist eine Zentralprojektion von einem Kugelpunkt aus auf eine Ebene, welche normal zur Geraden durch das Projektionszentrum und das Kugelzentrum geht.

Die stereografische Projektion ist auch kreistreu, genau genommen Mšbius-Kreis-treu. Kreise auf der Kugel werden im Regelfall auf Kreise abgebildet. Wenn allerdings der Kreis durch das Projektionszentrum geht, ist sein Bild eine Gerade. Mšbius (August Ferdinand Mšbius, 1790-1868, Erfinder des Mšbius-Bandes) fasste daher die Kreise und Geraden der Ebene unter einem Oberbegriff zusammen. Dieser Oberbegriff wird heute als Mšbius-Kreis bezeichnet.

Unsere sphŠrischen Dreiecke werden also bei einer stereografischen Projektion auf Dreiecke mit Innenwinkeln von 120¡ abgebildet, deren Seiten Mšbius-Kreise sind. Wir haben also eine Chance, dass dabei unser Reuleaux-Dreieck entsteht. Das ist letztlich die Frage der Wahl eines geeigneten Projektionszentrums.


4        Projektion vom Nordpol aus

Wir projizieren vom Nordpol aus auf die €quatorebene (Abb. 4).

Abb. 4: Projektion vom Nordpol aus

Die Abbildung 5 zeigt die Situation im Grundriss. Die Bilder der drei vom Nordpol, also dem Projektionszentrum, ausgehenden Gro§kreisbšgen, sind Halbgeraden, die sich bis ins Unendliche erstrecken.

Abb. 5: Grundriss

In der Abbildung 6 ist nur noch das stereografische Bild eingezeichnet. Wir erkennen im Zentrum ein Reuleaux-Dreieck.

Abb. 6: Reuleaux-Dreieck im Zentrum

5        Projektion vom SŸdpol aus

Wir projizieren nun vom SŸdpol aus auf die €quatorebene (Abb. 7)

Abb. 7: Projektion vom SŸdpol aus

Die Abbildung 8 zeigt die Situation im Grundriss.

Abb. 8: Grundriss

In der Abbildung 9 ist nur noch das stereografische Bild eingezeichnet.

Abb. 9: Wer sieht das Reuleaux-Dreieck?

Die Abbildung 10 zeigt, wie die Rosette mit dem Reuleaux-Dreieck in Beziehung gebracht werden kann.

Abb. 10: Rosette und Reuleaux-Dreieck

6        Projektion vom Ostpunkt aus

Wir projizieren vom Punkt mit den geografischen Koordinaten  aus auf die Ebene durch den 0¡-Meridian (Abb. 11).

Abb. 11: Projektion vom Ostpunkt aus

In der Abbildung 12 sehen wir die Situation im Seitenriss.

Abb. 12: Im Seitenriss

In der Abbildung 13 schlie§lich ist nur noch das stereografische Bild eingezeichnet. Hier ist kein Reuleaux-Dreieck mehr erkennbar. Die Figur erinnert an Seifenblasen.

Abb. 13: Seifenblasen