Hans Walser, [20140417]

RegulŠre Polygone gerader Eckenzahl

1     FlŠchengleichheiten

Bei regulŠren Polygonen gerader Eckenzahl gelten die in der Abbildung 1 angedeuteten FlŠchenbeziehungen.

 

Abb. 1: FlŠchenbeziehungen

 

Diese Beziehungen lassen sich durch Nachrechnen verifizieren. FŸr ein 2m-Eck erhalten wir einerseits den gesamten FlŠcheninhalt

 

 

und andererseits fŸr das Rechteck den FlŠcheninhalt

 

.

 

Somit ergibt sich das FlŠchenverhŠltnis

 

.

 

Wenn m eine gerade Zahl ist, also die Eckenzahl des Polygons eine Viererzahl, geht es auf.

Falls m eine ungerade Zahl ist, ergibt sich ein halbzahliges VerhŠltnis. Die Eckenzahl des Polygons ist dann 6, 10, 14, ... . Euler (1782) bezeichnete diese Zahlen als nombres impairement pairs. Diese etwas merkwŸrdige Formulierung wurde von meinen Studierenden etwa so interpretiert: Diese Zahlen setzen sich aus einer ungeraden Anzahl von Paaren zusammen. Sie besetzen in der Liste der geraden Zahlen die ungeraden Positionen. Sie sind die Summe von zwei ungeraden Zahlen.

 

2     Zerlegungsbeweise

Die Abbildung 2 zeigt einheitliche Zerlegungsbeweise.

 

Abb. 2: Zerlegungsbeweise

 

Die Abbildung 3 zeigt dasselbe in einer anderen FŠrbung.

Abb. 3: Sterne

 

Die Abbildung 4 zeigt eine weitere Variante.

Abb. 4: Variante

 

NatŸrlich gibt es noch viele andere Zerlegungsbeweise.

 

Literatur

Euler, L. (1782): Recherches sur une nouvelle espce de quarrŽs magiques. Opera Omnia, Series 1, Volume 7, 291-392. Enestršm Index 530.