Hans Walser, [20161017]

Reflexion an Kugel

Idee und Anregung: W. K., F.

1     Worum geht es?

Im Innenhof eines Wiener Hotels sind reflektierende Kugeln aufgehŠngt (Abb. 1).

Abb. 1: Reflektierende Kugeln

Die Abbildung 2 zeigt das Spiegelbild des Innenhofes auf der Kugel in der Bildmitte der Abbildung 1.

Abb. 2: Spiegelbild des Innenhofes

Welchen Anteil des Innenhofes sehen wir im Spiegelbild?

2     Analyse

Wir schneiden die Kugel mit der Ebene durch einen beliebigen Raumpunkt P, den Kugelmittelpunkt M und den Okularpunkt O (Abb. 3).

Abb. 3: Ebener Schnitt

Die Konstruktion des Reflexionspunktes Q auf der KugeloberflŠche ist ein Thema fźr sich. Ich habe mit einer Einschiebe-Lšsung gearbeitet.

Die Abbildung 4 zeigt in grau den nicht einsehbaren Raum. Dies ist ein Kegelstumpf.

 

Abb. 4: Nicht einsehbarer Raum

Der Reflexionspunkt liegt auf einer Kugelkalotte (rot), welche den Kegelstumpf oben abschlie§t.

Allerdings sehen wir vom Okularpunkt O aus das Spiegelbild des Rumpunktes P eher auf einer Kreisscheibe, welche die Kugelkalotte unten abschlie§t (Punkt R). Das Spiegelbild des einsehbaren Raumes ist also auf dieser Kreisscheibe sichtbar (Abb. 5).

Abb. 5: Kreisfšrmiger Bildschirm

3     Der Trick von Newton

Wenn wir die Kugel verkleinern, wird auch der nicht einsehbare Raum kleiner. Allerdings wird dann auch die Kreisscheibe kleiner. Wir sehen mehr von der Welt auf einem kleineren Bildschirm.

Aber wir kšnnen ja den Bildschirm als Artefakt entsprechend vergrš§ern. Dies ist der Trick von Newton: Wir lassen den Kugelradius r gegen null gehen und vergrš§ern den kleiner werdenden Bildschirm mit dem Faktor 1/r. Damit bleibt er in handlicher Grš§e. Der nicht einsehbare Raum geht bei diesem Verfahren auch gegen null. Das war ja der Sinn der †bung.

Im Grenzfall haben wir das ganze Universum auf einer Kreisscheibe. Die Kugelkalotte wird zur Halbkugel, die Kreisscheibe zu einer Gro§kreisscheibe.

4     Beispiele

4.1    Wźrfel und Wźrfelgitter

Wir setzen die infinitesimal kleine reflektierende Kugel in die Wźrfelmitte. Der Okularpunkt O sei senkrecht oberhalb. In der Abbildung 6 sind je vier parallele Wźrfelkanten in gleicher Farbe gezeichnet.

Abb. 6: Bild des Wźrfels

Die Abbildung 7 zeigt die Situation mit einem 3×3×3-Wźrfelgitter.

Abb. 7: Wźrfelgitter

4.2    Kartografie

Wir denken uns die Erdkugel transparent mit unserer infinitesimal kleinen reflektierenden Kugel im Erdmittelpunkt. Der Okularpunkt sei im Nordpol oder irgendwo auf der oberen Erdachse. Dann sehen wir die Erde im Spiegel gemŠ§ Abbildung 8. Bei dieser Spiegelprojektion wird doppelt gespiegelt: ZunŠchst sehen wir die Erde von innen spiegelbildlich, und dann wir an der infinitesimalen Kugel ein zweites Mal gespiegelt. Daher entspricht die Orientierung der Karte unseren Gewohnheiten, der Sicht von au§en.

Abb. 8: Spiegelbild der Erdkugel

Diese Erdkugeldarstellung ist ein so genannte Azimutalkarte und flŠchenverhŠltnistreu (Azimuthal Equal Area). Die FlŠchenverhŠltnisse sind auf der Karte gleich gro§ wie in Wirklichkeit.

Wir sehen die ganze Erdkugel. Am Šu§ersten Rand ist die Antarktis erkennbar.

Die Abbildung 9 zeigt die Situation mit dem Okularpunkt im Punkt mit den geografischen Koordinaten (0ˇN / 0ˇE).

Die Lage der beiden Pole ist symmetrisch.

Abb. 9: Okular bei (0ˇN / 0ˇE)

Die Abbildung 10 schlie§lich zeigt die Situation mit dem Okular in Feldmeilen.

Abb. 10: Okular in Feldmeilen

5     Formeln

Der Raumpunkt P habe die kartesischen Koordinaten (x, y, z). Die infinitesimal kleine reflektierende Kugel sei im Koordinatenursprung und der Okularpunkt auf der positiven z-Achse.

Fźr die Bildschirm-Kreisscheibe verwenden wir die kartesischen Koordinaten .

In dieser Disposition gelten die Abbildungsgleichungen:

 

                                                                               (1)

 

 

 

 

Websites

Kartenprojektionen (17.10.2016):

http://swai.ethz.ch/swaie/MapProjector/MapProjector.de.html