Hans Walser, [20090214b]

Eine Rechtecksbedingung

1        Worum es geht

In einem Parallelogramm wŠhlen wir einen beliebigen Punkt und verbinden ihn durch die Strecken p, q, r, s mit den Eckpunkten.

Ausgangsfigur

Das Parallelogramm ist genau dann ein Rechteck, wenn

2        Vektorieller Beweis

Wir arbeiten mit Vektoren gemŠ§ Figur.

Vektoren

Nun drźcken wird die Vektoren  durch die Vektoren  aus und bilden die Quadrate:

Fźr die alternierende Quadratsumme erhalten wir:

Daraus folgt die Behauptung.

3        Pyramide

Der vektorielle Beweis ist nicht an die Ebene gebunden. Wenn wir den Punkt oberhalb des Grundparallelogramms wŠhlen, ergibt sich eine Pyramide.

Pyramide

Eine Pyramide auf einer Parallelogrammbasis hat also genau dann eine rechteckige Basis, wenn die alternierende Quadratsumme der SchrŠgkanten verschwindet.