Hans Walser, [20190210]

Rationaler Kosinus

1     Winkel und Vielfache

Wir arbeiten mit einem Winkel  mit einem rationalen Kosinus-Wert:

 

                                   (1)

 

 

 

Dann hat auch jedes ganzzahlige Vielfache dieses Winkels einen rationalen Kosinus-Wert:

 

                                                                   (2)

 

 

 

2     Beweis

Fźr den Beweis benštigen wir die Formeln von de Moivre, die wir kurz herleiten. Aus der Formel von Euler

 

                                                          (3)

 

 

 

 

 

folgt durch Expandieren:

 

                                         (4)

 

 

 

Trennung in Real- und ImaginŠrteil liefert die Formeln von de Moivre:

 

                                 (5)

 

 

 

 

 

 

Weiter ist

                                                                      

                                                                                                       (6)

 

 

 

 

rational. Die Sinuswerte selber sind in der Regel nicht rational (ausgenommen im Kontext mit pythagoreischen Dreiecken).

In der Formel (5) fźr  kommen die Sinuswerte nur mit geraden Exponenten vor. Daher ist  rational.

Wir haben jetzt allerdings nur bewiesen, dass  rational ist (Existenzbeweis), kšnnen diese rationale Zahl aber nicht mit ZŠhler und Nenner darstellen. Dazu dienen die weiteren †berlegungen.

3     Bezeichnungen

Wir verwenden folgende Bezeichnungen:

 

                                                                                                             (7)

 

 

 

 

4     Beispiel

Es sei  und  (Abb. 1).

Abb. 1: Beispiel

Damit ist:

 

                                                                 (8)

 

 

 

In der Tabelle 1 ist in der letzten Spalte der Kosinus der Vielfachen des Winkels  angegeben. In der zweiten und dritten Spalte sind ganze Zahlen angegeben, deren Quotient (vierte Spalte) mit dem Kosinuswert des Vielfachen des Winkels  (numerisch) źbereinstimmt. Abweichungen ergeben sich erst in den hinteren Dezimalstellen und dźrften rundungsbedingt sein.

 

n

1

8

9

0.8888888889

0.8888888889

2

47

81

0.5802469136

0.5802469137

3

104

729

0.1426611797

0.1426611797

4

–2143

6561

–0.3266270386

–0.3266270380

5

–42712

59049

–0.7233314705

–0.7233314703

6

–509809

531441

–0.9592955756

–0.9592955756

7

–4697272

4782969

–0.9820828862

–0.9820828863

8

–33861823

43046721

–0.7866295554

–0.7866295555

9

–161310136

387420489

–0.4163696567

–0.4163696575

10

161845487

3486784401

0.0464168324

0.0464168318

11

15655648808

31381059609

0.4988884698

0.4988884695

12

237380896481

282429536481

0.8404960028

0.8404960023

Tab. 1: Beispiel

In der dritten Spalte ist offensichtlich:

 

                                                                                                                         (9)

 

 

 

Die Zahlen in der zweiten Spalte genźgen der Rekursion:

 

                                                                                                   (10)

 

 

 

Dies ist nicht offensichtlich und muss begrźndet werden.

5     Konstruktiver Beweis

Wir gehen aus von der Situation und den Bezeichnungen der Formel (1) (Abb. 2). Gegeben sind also  und .

Abb. 2: Allgemeine Startsituation

Es ist:

 

                                                                 (11)

 

 

 

 

Weiter sei:

 

                                                                                                                       (12)

 

 

 

Die Werte  seien definiert durch die Startwerte  und das gegebene  sowie durch die Rekursion:

 

                                                                                         (13)

 

 

 

Wir wollen zeigen:

 

                                                                                                           (14)

 

 

 

 

Dazu erarbeiten wir die verallgemeinerte Formel von Binet fźr die durch (13) mit den zugehšrigen Startwerten gegebene Folge.

Diese Formel von Binet hat die allgemeine Form:

 

                                                                                                         (15)

 

 

 

Dabei sind  und  die Lšsungen der sich aus (13) ergebenden quadratischen Gleichung

 

                                                                                                  (16)

 

 

 

wŠhrend sich die Koeffizienten r und s aus den Startwerten ergeben. Die Gleichung (16) hat die beiden Lšsungen:

 

                                                             (17)

 

 

 

 

Wegen  ist der Radikand in (17) negativ und wir haben die beiden konjugiert komplexen Lšsungen:

 

                                                                                             (18)

 

 

 

Wenn wir in (15)  setzen, kšnnen wir mit (18) verifizieren, dass die Startwerte der Folge erfźllt sind.

Wegen (11) kšnnen wir die Lšsungen (18) der quadratischen Gleichung (16) schreiben in der Form:

 

                                                             (19)

 

 

 

 

Somit erhalten wir aus (12), (15) und (19) fźr die Formel von Binet:

 

      (20)

 

 

 

 

 

Daraus ergibt sich (14). Dies war zu zeigen.

6     Gleichschenklige Dreiecke

Wir kšnnen das Dreieck der Abbildung 1 zu einem gleichschenkligen Dreieck mit dem rationalen SeitenverhŠltnis 9:9:16 ergŠnzen (Abb. 3).

Abb. 3: Gleichschenkliges Dreieck mit rationalem SeitenverhŠltnis

Wenn wir nun die Basiswinkel verdoppeln, erhalten wir ein gleichschenkliges Dreieck mit dem ebenfalls rationalen SeitenverhŠltnis 81:81:94 (Tab. 1, Abb. 4).

Abb. 4: Doppelte Basiswinkel

Wie sieht die Situation bei einer Verdreifachung, Vervierfachung, ... der Basiswinkel aus?

 

Weblinks

Hans Walser: Rationale SeitenverhŠltnisse

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Rationale_Seitenverhaeltnisse/Rationale_Seitenverhaeltnisse.htm