Hans Walser, [20200818]

Quersummen

1     Worum geht es?

Quersummen in der Darstellung mit der Basis b.

2     Geometrischer Einstieg

Basis b = 2.

Wir beginnen mit einem Kreis im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems (Abb. 1.0).

Abb. 1.0: Kreis im Ursprung

Wir verschieben eine Kopie dieses Kreises um eine Einheit nach rechts und um eine Einheit nach oben (Abb. 1.1).

Abb. 1.1: Original und Kopie

Nun verschieben wir eine Kopie der Gesamtfigur (also der beiden Kreise) um 2 Einheiten nach rechts und um eine Einheit nach oben (Abb. 1.2).

Abb. 1.2: Original und Kopie

Nun verschieben wir eine Kopie der Gesamtfigur (also der vier Kreise) um 4 Einheiten nach rechts und um eine Einheit nach oben (Abb. 1.3).

Abb. 1.3: Original und Kopie

Nun verschieben wir eine Kopie der Gesamtfigur (also der acht Kreise) um 8 Einheiten nach rechts und um eine Einheit nach oben (Abb. 1.4).

Abb. 1.4: Original und Kopie

Nun verschieben wir eine Kopie der Gesamtfigur (also der 16 Kreise) um 16 Einheiten nach rechts und um eine Einheit nach oben (Abb. 1.5).

Abb. 1.5: Original und Kopie

Wir sehen, wie der Rekursion lŠuft: In der Abbildung 1.n haben wir 2n Kreise. Wir verschieben eine Kopie davon um 2n Einheiten nach rechts und eine Einheit nach oben.

3     Diskussion

In der Abbildung 2 ist der obere Anschlag eingezeichnet.

Abb. 2: Oberer Anschlag

Die blaue Kurve hat die Gleichung:

 

                                                                                                           (1)

 

 

 

 

Im Wesentlichen also der Logarithmus zur Basis 2. Bei 0, 1, 3, 7, 15, 31, .. haben wir den oberen Anschlag auf den entsprechenden Niveaus 0, 1, 2, 3, 4, 5, .. .

Bei 1, 2, 4, 8, 16, .. haben wir den unteren Anschlag auf dem Niveau 1.

4     SelbstŠhnlichkeit

Wir fŠrben die Kreise im Wechsel rot und blau (Abb. 3.1).

Abb. 3.1: Rot und blau

Und nun lassen wir die blauen Kreise weg (Abb. 3.2).

Abb. 3.2: Nur rote Kreise

Die roten Kreise allein bilden im Prinzip dieselbe Figur wie bei der Abbildung 1.4. Die Verschiebungen nach rechts sind doppelt so gro§.

Wenn wir die Gesamtfigur der roten Kreise um eine Einheit nach rechts und eine Einheit nach oben schieben, erhalten wir die Situation der blauen Kreise.

Wir kšnnen also die Figuren der Abbildung 1 in zwei Teilfiguren zerlegen, die im Prinzip dieselbe Struktur haben wie die vorangehende Figur der Abbildung 1. Wir haben so etwas wie eine fraktale Struktur.

5     Niveaus

Die roten Punkte der Abbildung 1.5 haben der Reihe nach die Niveaus (Abb. 4):

 

                                      0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, ..

Abb. 4: Niveaus

6     Rekursion

Die Abbildung 5 illustriert die rekursive Struktur dieser Folge.

Abb. 5: Rekursive Struktur

Die Folge kann formal rekursiv definiert werden:

 

                                                                                                 (2)

 

 

 

 

 

Der Beweis ergibt sich aus der Abbildung 5.

7     Quersummen

Die Tabelle 1 zeigt n, unsere Folge an und n binŠr. Wir sehen die Quersummeneigenschaft.

 

n

an

n binŠr

 

n

an

n binŠr

0

0

0

 

16

1

10000

1

1

1

 

17

2

10001

2

1

10

 

18

2

10010

3

2

11

 

19

3

10011

4

1

100

 

20

2

10100

5

2

101

 

21

3

10101

6

2

110

 

22

3

10110

7

3

111

 

23

4

10111

8

1

1000

 

24

2

11000

9

2

1001

 

25

3

11001

10

2

1010

 

26

3

11010

11

3

1011

 

27

4

11011

12

2

1100

 

28

3

11100

13

3

1101

 

29

4

11101

14

3

1110

 

30

4

11110

15

4

1111

 

31

5

11111

Tab. 1: Vergleich

8     Verallgemeinerung

Statt mit der Basis 2 arbeiten wir mit der Basis b. Analog zu (2) ergibt sich:

 

                                                                                                 (3)

 

 

 

 

Fźr b = 3 erhalten wir die Werte der Tabelle 2.

 

n

an

n Basis 3

 

n

an

n Basis 3

0

0

0

 

14

4

112

1

1

1

 

15

3

120

2

2

2

 

16

4

121

3

1

10

 

17

5

122

4

2

11

 

18

2

200

5

3

12

 

19

3

201

6

2

20

 

20

4

202

7

3

21

 

21

3

210

8

4

22

 

22

4

211

9

1

100

 

23

5

212

10

2

101

 

24

4

220

11

3

102

 

25

5

221

12

2

110

 

26

6

222

13

3

111

 

 

 

 

Tab. 2: Basis 3

Die Abbildung 6 zeigt die zugehšrige Visualisierung. Die blaue Kurve hat die Gleichung:

 

                                                                                                           (4)

 

 

 

 

 

Abb. 6: Basis 3

Fźr b = 4 erhalten wir die Werte der Tabelle 3.

 

n

an

n4

 

n

an

n4

 

n

an

n4

 

n

an

n4

0

0

0

 

16

1

100

 

32

2

200

 

48

3

300

1

1

1

 

17

2

101

 

33

3

201

 

49

4

301

2

2

2

 

18

3

102

 

34

4

202

 

50

5

302

3

3

3

 

19

4

103

 

35

5

203

 

51

6

303

4

1

10

 

20

2

110

 

36

3

210

 

52

4

310

5

2

11

 

21

3

111

 

37

4

211

 

53

5

311

6

3

12

 

22

4

112

 

38

5

212

 

54

6

312

7

4

13

 

23

5

113

 

39

6

213

 

55

7

313

8

2

20

 

24

3

120

 

40

4

220

 

56

5

320

9

3

21

 

25

4

121

 

41

5

221

 

57

6

321

10

4

22

 

26

5

122

 

42

6

222

 

58

7

322

11

5

23

 

27

6

123

 

43

7

223

 

59

8

323

12

3

30

 

28

4

130

 

44

5

230

 

60

6

330

13

4

31

 

29

5

131

 

45

6

231

 

61

7

331

14

5

32

 

30

6

132

 

46

7

232

 

62

8

332

15

6

33

 

31

7

133

 

47

8

233

 

63

9

333

Tab. 3: Basis 4

Die Abbildung 7 zeigt die zugehšrige Visualisierung.

Abb. 7: Basis 4

Die blaue Kurve hat die Gleichung:

 

                                                                                                           (5)

 

 

 

 

 

Websites

The on-line encyclopedia of integer sequences

https://oeis.org/A000120

The on-line encyclopedia of integer sequences

https://oeis.org/A053735

The on-line encyclopedia of integer sequences

https://oeis.org/A053737