Hans Walser, [20170414]

Querformat und Hochformat

1     Die beiden Zylinder

Wir arbeiten mit zwei gleich gro§en rechteckigen Papieren, einmal im Querformat und einmal im Hochformat (Abb. 1).

Abb. 1: Querformat und Hochformat

Wir biegen die beiden Rechtecke je zu einem Zylinder mit dem Rechteckpapier als MantelflŠche zusammen (Abb. 2) (Dahl & Lepp 2000).

Abb. 2: Zylinder

In welchem VerhŠltnis stehen die beiden Zylindervolumina?

Vielleicht gelingt es, diese Frage durch †berlegung zu beantworten. Wenn nicht, dann halt Rechnung.

2     Rechnung

Das Rechteck habe die Ausma§e a × b mit a ³ b > 0.

FŸr das Volumen des Querformat-Zylinders erhalten wir:

 

                                                                                              (1)

 

FŸr das Volumen des Hochformat-Zylinders erhalten wir analog:

 

                                                                                             (2)

 

Damit ergibt sich fŸr das VolumenverhŠltnis:

 

                                                                                                                         (3)

 

Wir sehen, dass die Kreiszahl ¹ herausfŠllt. Das Resultat ist so einfach wie nur wŸnschbar. Das VolumenverhŠltnis der Zylinder ist gleich dem SeitenverhŠltnis des Papier-Rechteckes.

Der hšhere Zylinder hat das kleinere Volumen.

3     SonderfŠlle

Bei Verwendung von Papier im DIN-Format (Walser 2013b und Walser 2016) ist das VerhŠltnis  (Abb. 3 und 4).

Wenn wir mit dem Goldenen Rechteck arbeiten (Walser 2013a, S. 53f), erhalten wir ein VolumenverhŠltnis im Goldenen Schnitt

4     Handwerkliches und Didaktisches

Die Papiere mŸssen lŠngs zweier gegenŸberliegender Seiten zu einer Mantellinie auf Sto§ zusammengefŸgt werden. Bei Verwendung von Transparent-Klebeband kann bei der Mantellinie eine Kante entstehen. Um dies zu vermeiden, ummanteln wir den Zylinder mit einem zweiten Zylinder, dessen Klebe-Mantellinie der ersten gegenŸber liegt. Wir brauchen dann also zwei Papierrechtecke pro Zylinder.

Die beiden Zylinder der Abbildung 3 sind aus DIN A5-Papieren hergestellt.

Ab. 3: Zylinder aus DIN A5-Papieren

Zur empirischen Volumenbestimmung eignet sich ein SchŸttgut aus der KŸche, zum Beispiel Bšhnchen oder der lŠngst abgelaufene Vollkornreis (Abb. 4).

Abb. 4: Volumenvergleich

ZunŠchst wird der hohe Zylinder auf Strichma§ gefŸllt. Dabei empfiehlt es sich, mit einem extra angefertigten Trichter aus Papier zu arbeiten, dessen untere …ffnung kaum kleiner als der Deckkreis des hohen Zylinders ist. Der Ÿbliche KŸchentrichter hat eine zu kleine …ffnung. Zur Feinabstimmung am Schluss kann mit einem Teelšffel gearbeitet werden.

Dann ziehen wir den hohen Zylinder heraus und sehen, wie das Volumen scheinbar zusammensackt.

Das Kuchenblech dient zur RŸckgewinnung des SchŸttgutes.

 

Literatur

Dahl, Kristin & Lepp, Mati (2000): Wollen wir Mathe spielen? Aus dem Schwedischen von Dagmar Brunow. Hamburg: Oetinger. ISBN 978-3-7891-3305-3.

Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-937219-85-1.

Walser, Hans (2013b): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-69-1.

Walser, Hans (2016): Spielereien im DIN-Format. MU, Der Mathematikunterricht. Jahrgang 62. Heft 5-2016. S. 3-13.