Hans Walser, [20150402]

Quadratzahlen und pythagoreische Dreiecke

1     Worum geht es?

Jeder Quadratzahl  kann mit Hilfe des Hšhensatzes ein pythagoreisches Dreieck zugeordnet werden.

2     Beispiele

FŸr die Beispiele ist eine Fallunterscheidung bezŸglich der ParitŠt von n sinnvoll.

2.1    Gerade Quadratzahlen

2.1.1   n = 2

FŸr n = 2 verwandeln wir ein aus vier Einheitsquadraten bestehendes Rechteck mit dem Hšhensatz in ein Quadrat (Abb. 1).

 

Abb. 1: n = 2

 

Der rote Kreis hat den Radius . Dies ist auch die Hypotenuse des rot eingezeichneten rechtwinkligen Dreiecks. Dessen Katheten sind  und 2. Wir kšnnen also mit dem Faktor 2 erweitern und erhalten das pythagoreische Dreieck mit a = 3, b = 4 und c = 5. Zu diesem Dreieck gehšren die Parameter u = 2 und v = 1.

2.1.2   n = 4

FŸr n = 4 verwandeln wir ein aus 16 Einheitsquadraten bestehendes Rechteck mit dem Hšhensatz in ein Quadrat (Abb. 2).

 

Abb. 2: n = 4

 

Der rote Kreis hat den Radius . Dies ist auch die Hypotenuse des rot eingezeichneten rechtwinkligen Dreiecks. Dessen Katheten sind  und 4. Wir kšnnen also mit dem Faktor 2 erweitern und erhalten das pythagoreische Dreieck mit a = 15, b = 8 und
c = 17. Zu diesem Dreieck gehšren die Parameter u = 4 und v = 1.

2.1.3   n = 6

FŸr n = 6 verwandeln wir ein aus 36 Einheitsquadraten bestehendes Rechteck mit dem Hšhensatz in ein Quadrat. Dies fŸhrt zu einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse  und den Katheten  und 6. Wir kšnnen also mit dem Faktor 2 erweitern und erhalten das pythagoreische Dreieck mit a = 35, b = 12 und c = 37. Zu diesem Dreieck gehšren die Parameter u = 6 und v = 1.

2.1.4   n = 8

FŸr n = 8 verwandeln wir ein aus 64 Einheitsquadraten bestehendes Rechteck mit dem Hšhensatz in ein Quadrat. Dies fŸhrt zu einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse  und den Katheten  und 8. Wir kšnnen also mit dem Faktor 2 erweitern und erhalten das pythagoreische Dreieck mit a = 63, b = 16 und c = 65. Zu diesem Dreieck gehšren die Parameter u = 8 und v = 1.

2.1.5   Allgemein

FŸr gerades n erhalten wir nach Erweitern mit dem Faktor 2 ein rechtwinkliges Dreieck mit ,  und . Es ist u = n und v = 1.

2.2    Ungerade Quadratzahlen

2.2.1   n = 3

FŸr n = 3 verwandeln wir ein aus neun Einheitsquadraten bestehendes Rechteck mit dem Hšhensatz in ein Quadrat (Abb. 3).

 

Abb. 3: n = 3

 

Der rote Kreis hat den ganzzahligen Radius 5. Dies ist auch die Hypotenuse des rot eingezeichneten rechtwinkligen Dreiecks. Dessen Katheten sind 4 und 3. In Anlehnung an die Ÿblichen Konventionen bei der Beschriftung pythagoreischer Dreiecke wŠhlen wir die Bezeichnung so, dass a = 3, b = 4 und c = 5. Das Dreieck wir also im negativen Umlaufssinn bezeichnet. Zu diesem Dreieck gehšren die Parameter u = 2 und v = 1.

2.2.2   n = 5

FŸr n = 5 verwandeln wir ein aus 25 Einheitsquadraten bestehendes Rechteck mit dem Hšhensatz in ein Quadrat (Abb. 4).

 

Abb. 4: n = 5

 

Der rote Kreis hat den ganzzahligen Radius 13. Dies ist auch die Hypotenuse des rot eingezeichneten rechtwinkligen Dreiecks. Dessen Katheten sind 12 und 5. In Anlehnung an die Ÿblichen Konventionen bei der Beschriftung pythagoreischer Dreiecke wŠhlen wir die Bezeichnung so, dass a = 5, b = 12 und c = 13. Zu diesem Dreieck gehšren die Parameter u = 3 und v = 2.

2.2.3   n = 7

FŸr n = 7 verwandeln wir ein aus 49 Einheitsquadraten bestehendes Rechteck mit dem Hšhensatz in ein Quadrat.

Wir erhalten ein pythagoreisches Dreieck mit a = 7, b = 24 und c = 25. Zu diesem Dreieck gehšren die Parameter u = 4 und v = 3.

2.2.4   n = 9

FŸr n = 9 verwandeln wir ein aus 81 Einheitsquadraten bestehendes Rechteck mit dem Hšhensatz in ein Quadrat.

Wir erhalten ein pythagoreisches Dreieck mit a = 9, b = 40 und c = 41. Zu diesem Dreieck gehšren die Parameter u = 5 und v = 4.

2.2.5   Allgemein

FŸr ungerades n erhalten wir ein pythagoreisches Dreieck mit ,  und . Es ist  und .

3     Fazit

Jeder Quadratzahl  kann mit Hilfe des Hšhensatzes ein pythagoreisches Dreieck zugeordnet werden.

Umgekehrt gibt es aber pythagoreische Dreieck die nicht aus dieser Zuordnung entstehen.

Folgende Paare von u- und v-Werten passen in unsere †berlegungen:

 

u

v

n

2

1

2

2

1

3

4

1

4

3

2

5

6

1

6

4

3

7

8

1

8

5

4

9