Hans Walser, [20170826]

Quadratunterteilung

1     GleichmŠ§ig wachsende SeitenlŠngen

Wir beginnen mit einer diagonal angeordneten Folge von Quadraten mit den SeitenlŠngen 1, 2, ... , 10. (Abb. 1).

Abb. 1: Quadratfolge

Wir ergŠnzen die Figur zu einem gro§en Quadrat (Abb. 2). So entsteht ein Rechtecksraster.

Abb. 2: Rechtecksraster

Zwischenbemerkung: In der Tabelle 1 sind die FlŠcheninhalte der Rechtecke in gleicher Anordnung wie in der Abbildung 2 eingetragen. Das haben wir schon einmal gesehen.

 

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

9

18

27

36

45

54

63

72

81

90

8

16

24

32

40

48

56

64

72

80

7

14

21

28

35

42

49

56

63

70

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tab. 1: FlŠcheninhalte

In der Abbildung 3 ist eine Art ãDiagonaleÒ von links oben nach rechts unten eingetragen. Was fŸr eine Kurve ist das?

Abb. 3: Diagonale

Wir arbeiten zunŠchst im x,y-Koordinatensystem mit dem Ursprung in der linken unteren Ecke des gro§en Quadrates und der SeitenlŠnge des kleinsten roten Quadrates als Einheit. In diesem Koordinatensystem hat die Kurve die implizite Gleichung:

 

                                                                                     (1)

 

Mit der Koordinatentransformation

 

 

                                                                                                        (2)

 

erhalten wir die Parabelgleichung:

 

                                                                                                                 (3)

 

Nun unterteilen wir jedes Rechteck der Abbildung 2 in mšglichst wenige Quadrate (Abb. 4).

Abb. 4: Unterteilung in Quadrate

In der Tabelle 2 sind die Anzahlen der zur Unterteilung eines Rechtecks benštigten Quadrate eingetragen.

 

10

5

6

4

2

4

6

5

10

1

9

6

3

6

6

3

6

9

1

10

8

4

5

2

5

4

8

1

9

5

7

5

5

5

5

7

1

8

6

6

6

3

2

3

6

1

7

4

3

4

5

4

4

5

1

6

5

5

6

2

4

2

4

1

5

3

5

2

6

4

3

3

1

4

4

2

5

5

3

6

2

1

3

2

4

3

5

4

6

5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tab. 2: Anzahl der benštigten Quadrate zur Unterteilung

Lesebeispiel: Zur Unterteilung eines Rechteckes der LŠnge 7 und der Hšhe 4 benštigen wir 5 Quadrate (Abb. 5).

Abb. 5: Lesebeispiel

Berechnen tun wir das so:

 

                                                                                                     (4)

 

 

Dies ist zunŠchst der Euklidische Algorithmus zur Berechnung des grš§ten gemeinsamen Teilers der beiden Zahlen 7 und 4. Dieser grš§te gemeinsame Teiler ist der letzte von null verschiedene Rest, in unserem Falle 1. Uns interessiert das aber gar nicht. Wir addieren vielmehr die in (4) rot und blau angegebenen Zahlen. Diese Summe ist die Anzahl der benštigten Quadrate zur Unterteilung des Rechteckes der LŠnge 7 und der Hšhe 4. Der Zusammenhang mit der Abbildung 5 ist offensichtlich.

Die allgemeine Prozedur fŸr ein Rechteck der LŠng m und der Hšhe n sieht so aus:

 

AnzahlQuadrate:=proc(m,n)

 local s,q,r,a,b,k:

 s:=0:

 q:=0:

 r:=1:

 a:=m:

 b:=n:

 for k from 0 while r > 0 do

  q:=floor(a/b):

  s:=s+q:

  r:= a mod b:

  a:=b:

  b:=r:

 end:

 return s:

end:

 

Die Abbildung 6 gibt ein Histogramm fŸr die Tabelle 2.

           

Abb. 6: Histogramm

Ein Zahlendreieck: Wir schreiben die obere linke HŠlfte der Tabelle in einer anderen Anordnung und ergŠnzen am linken Rand mit Einsen (Tab. 3).

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

3

1

 

 

 

 

 

 

 

1

4

2

4

1

 

 

 

 

 

 

1

5

4

4

5

1

 

 

 

 

 

1

6

3

2

3

6

1

 

 

 

 

1

7

5

5

5

5

7

1

 

 

 

1

8

4

5

2

5

4

8

1

 

 

1

9

6

3

6

6

3

6

9

1

 

1

10

5

6

4

2

4

6

5

10

1

Tab. 3: Zahlendreieck

Es handelt sich hier um das Zahlendreieck A110570.

2     Fibonacci-Quadrate

Die Startquadrate haben die Fibonacci-Zahlen als SeitenlŠngen (Abb. 7).

Abb. 7: Fibonacci-Quadrate

Die Fibonacci-Rekursion kann geometrisch gezeigt werden (Abb. 8).

Abb. 8: Fibonacci-Rekursion

Wir ergŠnzen die Abbildung 7 zum Rechtecksraster (Abb. 9).

Abb. 9: Rechtecksraster

Die Tabelle 4 gibt die FlŠcheninhalte der einzelnen Rechtecke.

 

21

21

42

63

105

168

273

441

13

13

26

39

65

104

169

273

8

8

16

24

40

64

104

168

5

5

10

15

25

40

65

105

3

3

6

9

15

24

39

63

2

2

4

6

10

16

26

42

1

1

2

3

5

8

13

21

1

1

2

3

5

8

13

21

Tab. 4: FlŠcheninhalte

In der Abbildung 10 sind die Rechtecke in Quadrate zerlegt.

Abb. 10: Zerlegung in Quadrate

Die Tabelle 5 gibt die Anzahlen der fŸr die Zerlegung der einzelnen Rechtecke benštigten Quadrate.

 

21

21

12

7

9

7

7

1

13

13

8

7

6

6

1

7

8

8

4

5

5

1

6

7

5

5

4

4

1

5

6

9

3

3

3

1

4

5

7

7

2

2

1

3

4

4

8

12

1

1

2

3

5

8

13

21

1

1

2

3

5

8

13

21

Tab. 5: Anzahl der benštigten Quadrate zur Unterteilung

 

Websites

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences¨ (OEIS¨) (abgerufen 26.08.2017):

https://oeis.org/A110570