Hans Walser, [20160631]

Quadratsummen

Anregung: Heinz Klaus Strick, Leverkusen

1     Der Klassiker

Die Quadratgleichung

 

                                                              32 + 42 = 52                                                        (1)

 

kann auf verschiedene Weisen illustriert werden. Die Abbildung 1 zeigt ein Beispiel im Quadratraster.

Abb. 1: Im Quadratraster

Die Abbildung 2 zeigt eine Illustration im Dreiecksraster.

Abb. 2: Im Dreiecksraster

In der Abbildung 3 sind die Rasterlinien weggelassen.

Abb. 3: Ohne Rasterlinien

2     Erweiterung

Wir illustrieren die Quadratgleichung:

 

                                                 102 + 112 + 122 = 132 + 142                                            (2)

 

Die Abbildung 4 zeigt eine Illustration im Quadratraster.

Abb. 4: Im Quadratraster

Die Abbildung 5 zeigt dasselbe im Dreiecksraster.

Abb. 5: Im Dreiecksraster

Die Abbildung 6 zeigt eine leicht modifizierte Lšsung.

Abb. 6: Modifizierte Lšsung

3     NŠchster Schritt

Wir illustrieren die Quadratgleichung:

 

                                       212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272                                 (3)

 

Die Abbildungen 7 und 8 zeigen zwei Lšsungen.

Abb. 7: Quadratsummen

Abb. 8: Variante

4     Rechtwinklige Dreiecke

Bei der Gleichung (1)

 

                                                              32 + 42 = 52                                                        (1)

 

denken wir an ein rechtwinkliges Dreieck und den Satz des Pythagoras (Abb. 9).

Abb. 9: Pythagoras

Natźrlich geht es auch mit Dreiecken (Abb. 10).

Abb. 10: Dreiecke

Beim Beispiel der Gleichung (2)

 

                                                 102 + 112 + 122 = 132 + 142                                            (2)

 

mźssen wir den Satz des Pythagoras mehrfach anwenden (Abb. 11 und 12).

Abb. 11: Potenzierter Pythagoras

Abb. 12: Dreiecke

Die Gleichung (3)

 

                                       212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272                                 (3)

 

fźhrt zur Figur der Abbildung 13.

Abb. 13: Pythagoras-Gefźge

Literatur

Nelson, Roger B. (2000): Proofs without Words. MAA, The Mathematical Association of America. ISBN 978-0883857007