Hans Walser, [20130826]

Quadratrix

1     Die Kurve

Die Abbildung 1 zeigt die so genannte Quadratrix, die Kurve mit der Parameterdarstellung:

 

 

 

Abb. 1: Quadratrix

Die Quadratrix schneidet die x-Achse bei  und ist daher fźr allerlei Spielereien im Bereich der Rektifikation oder der Quadratur des Kreises geeignet.

†ber die Quadratrix siehe JŠger, Joachim und Schupp, Hans (2012).

2     Geradenscharen

Wir arbeiten nun mit zwei Geradenscharen, nŠmlich einer Schar von parallelen Linien und einer Schar von Ursprungsgeraden. Die parallelen Linien haben den Abstand  und die Ursprungsgeraden den Richtungsabstand . In der Abbildung 2 ist n = 4.

Beschreibung: Macintosh HD:Users:hanswalser1:Desktop:eps:020.eps

Abb. 2: Geradenscharen

Wir sehen, dass die Quadratrix durch geeignete Schnittpunkte verlŠuft.


 

Dies kann zur Winkeldrittelung verwendet werden. Der gelb markierte Winkel der Abbildung 3 kann gedrittelt werden, indem der horizontale hellblaue Streifen gedrittelt wird.

Beschreibung: Macintosh HD:Users:hanswalser1:Desktop:eps:030.eps

Abb. 3: Winkeldrittelung


 

3     Verdichtung und †berlagerung

Wir zeichnen nur die Geradenscharen mit sehr hoher Teilung (Abb. 4 und 5).

Beschreibung: Macintosh HD:Users:hanswalser1:Desktop:eps:040.eps

Abb. 4: Parallelen

Beschreibung: Macintosh HD:Users:hanswalser1:Desktop:eps:050.eps

Abb. 5: Ursprungsgeraden

Leider sehen wir am Bildschirm in der Abbildung 5 einen MoirŽ-Effekt, der mir das Konzept versaut.


 

Nun źberlagern wir die Geradenscharen der Abbildungen 4 und 5. Wir erhalten einen MoirŽ-Effekt (Abb. 6). Leider haben wir auch hier einen durch die Bildschirmrasterung bedingten zusŠtzlichen MoirŽ-Effekt.

Beschreibung: Macintosh HD:Users:hanswalser1:Desktop:eps:060.eps

Abb. 6: MoirŽ-Effekt

Das ăLochŇ rechts in der Abbildung 6 ist genau dort, wo die Quadratrix die Horizontale Gerade schneidet, im Koordinatensystem der Abbildung 1 also im Punkt . Die Abbildung 7 illustriert die Situation.

Beschreibung: Macintosh HD:Users:hanswalser1:Desktop:eps:070.eps

Abb. 7: Mit Quadratrix


 

4     Benachbarte Kurven

Die Abbildung 8 zeigt eine Achterteilung der Geradenscharen und darin eingezeichnet die Quadratrix (rot) sowie auf beiden Seiten dazu Kurven (blau), welche durch benachbarte Schnittpunkte der Geradenscharen verlaufen.

Beschreibung: Macintosh HD:Users:hanswalser1:Desktop:eps:080.eps

Abb. 8: Benachbarte Kurven


 

Die Abbildung 9 zeigt weitere benachbarte Kurven.

Beschreibung: Macintosh HD:Users:hanswalser1:Desktop:eps:090.eps

Abb. 9: Weitere benachbarte Kurven


 

Die Abbildung 10 zeigt zusŠtzlich die Konterschar, dafźr sind die ursprźnglichen Geradenscharen weggelassen. Die Quadratrix ist ebenfalls als Scharkurve gezeichnet.

Beschreibung: Macintosh HD:Users:hanswalser1:Desktop:eps:100.eps

Abb. 100: Kurvenscharen

 

 

Literatur

JŠger, Joachim und Schupp, Hans (2012). Die Quadratrix: MU. Der Mathematikunterricht. Analysis – RatschlŠge und VorschlŠge 1. Herausgeber: Hans Schupp. Jahrgang 58.Heft 5.Oktober 2012.