Hans Walser, [20140424]

p,q-Matrix

Anregung: R. S., C.

1     Worum geht es?

Fźr  und  untersuchen wir die Matrix:

 

 

 

Die Matrix hat die Zeilensummen und Spaltensummen 1. Sie ist also ein Sonderfall einer stochastischen Matrix.

Es entsteht ein Link zur Binomialverteilung.

2     Daten

Determinante:

 

 

Eigenwerte und Eigenvektoren:

Charakteristische Gleichung:

 

 

Eigenwerte:

 

 

Bemerkung: Jede stochastische Matrix hat einen Eigenwert 1.

Eigenvektoren:

 

 

 

Bemerkung: Die Matrix A ist symmetrisch. Bei jeder symmetrischen Matrix sind die Eigenvektoren orthogonal.

3     Beispiel

Wir wŠhlen , also:

 

,    

 

 

Potenzen der Matrix und Umformung:

Matrix:

 

 

 

 

 

Quadrat der Matrix:

 

 

 

 

 

Dritte Potenz:

 

 

 

 

 

Wir sehen, wie der Hase lŠuft. Vermutung:

 

 

 

4     Beweis

Die Vermutung stimmt allgemein fźr unsere p,q-Matrix. Wegen  haben wir also die Vermutung:

 

 

 

Beweis induktiv, wobei wir dauernd die Relation  verwenden:

(I) Verankerung:

 

 

 

(II) Induktionsschritt:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Damit ist die Vermutung bewiesen.

5     Grenzwert

Fźr  und  ist   und damit:

 

 

6     Lineare Abbildung

Wir arbeiten exemplarisch mit der Matrix:

 

 

Im folgenden ist das Urbild grźn, das Bild bei der Abbildung mit A rot und das Bild bei der Abbildung mit  blau eingezeichnet.

Die Abbildung 1 zeigt die Bilder des Einheitsquadrates:

Abb. 1: Bilder des Einheitsquadrates

 

Die Abbildung 2 zeigt die Bilder des Einheitskreises.

Abb. 2: Bild des Einheitskreises

 

Wir sehen eine Kontraktion zur 45ˇ-Geraden. Diese hat die Richtung des ersten Eigenvektors. Sie ist Fixpunktgerade der Abbildung. In Richtung des zweiten Eigenvektors haben wir jeweils eine Kontraktion mit dem Faktor . Dies ist der zweite Eigenwert.

7     Konjugation der Matrix

Die Abbildungen 1 und 2 legen nahe, die Situation in einem gedrehten Koordinatensystem zu beschreiben, dessen Achsen die Richtungen der Eigenvektoren haben (Abb. 3).

Abb. 3: Neues Koordinatensystem

 

Fźr die Umrechnung brauchen wir die Drehmatrix:

 

 

 

Die Matrix  welche die Abbildung im neuen Koordinatensystem beschreibt finden wir durch Konjugation:

 

 

 

In der Hauptdiagonalen von  stehen nun die beiden Eigenwerte der Matrix. Auch das Abbildungsverhalten ist sofort klar: In Richtung der ersten Achse passiert nichts, in Richtung der zweiten Achse haben wir den Kontraktionsfaktor .

Das Potenzieren wir nun einfach:

 

 

 

Durch Rźckkonjugation erhalten wir die Situation im ursprźnglichen Koordinatensystem:

 

 

 

 

 

Damit hŠtten wir uns den Induktionsbeweis sparen kšnnen.

Weiter ist wegen :

 

 

 

Daraus erhalten wir ebenfalls durch Rźckkonjugation:

 

 

 

8     Binomialverteilung

Wir kehren nun zurźck zur ursprźnglichen Matrix:

 

 

 

Wir interpretieren p als Wahrscheinlichkeit eines Erfolges bei einem Bernoulli-Experiment und q entsprechend als Wahrscheinlichkeit eines Misserfolges.

Fźr das Quadrat der Matrix A erhalten wir:

 

 

 

In der ersten Zeile ist das erste Element  die Wahrscheinlichkeit, bei einer zweistufigen Bernoulli-Kette entweder zwei Erfolge oder zwei Misserfolge zu haben, das zweite Element  ist die Wahrscheinlichkeit, genau einen Erfolg und einen Misserfolg zu haben. In der zweiten Zeile ist die Situation umgekehrt.

Weiter mit der dritten Potenz:

 

 

 

Hier ist  die Wahrscheinlichkeit, bei drei Versuchen entweder drei oder genau einen Erfolg zu haben.

Allgemein ist in  das erste Element in der obersten Zeile die Wahrscheinlichkeit, bei n Versuchen eine Anzahl Erfolge aus  zu haben, und das andere Element der obersten Zeile die Gegenwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit, bei n Versuchen eine Anzahl Erfolge aus zu erhalten.

Beweis mit Induktion.

Da fźr  die beiden Elemente den Limes  haben, hei§t das, dass sich die beiden Wahrscheinlichkeiten annŠhern. Dies ist auch intuitiv klar.