1 Worum geht es?

Invarianz der Flächensumme a² + b² der Kathetenquadrate beim rechtwinkligen Dreieck ohne Verwendung der Hypotenusen-Quadratfläche c².

2 Perspektivenwechsel oder die kopernikanische Wende

In der Schule ist es üblich, bei der Behandlung des Satzes des Pythagoras die Hypotenuse festzulassen und den Eckpunkt beim rechten Winkel auf dem Thaleskreis kreisen zu lassen (Abb. 1). Das entspricht einem Weltbild worin die Erde fest bleibt und die Sonne um die Erde kreist.

Abb. 1: Invariante Flächensumme

Wir können die Situation auch umgekehrt sehen: Die Sonne bleibt fest, und die Erde dreht ab. Also: Der Eckpunkt mit dem rechten Winkel bleibt fest, dafür dreht sich die Hypotenuse um ihren Mittelpunkt (Abb. 2).

Abb. 2: Abdrehen der Hypotenuse

3 Zusammensetzung von Drehungen

Wir drehen beim rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b (Abb. 3a) die Hypotenuse um ihren Mittelpunkt um den orange eingezeichneten Winkel (Abb. 3b). Zusammen mit der Ecke C entsteht so ein zweites rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten und . Der lila Winkel zwischen a und ist halb so groß wie der orange Drehwinkel (Peripheriewinkel und Zentriwinkel). Ebenso der lila Winkel zwischen b und .

Wir drehen nun das neu entstandene rechtwinklige Dreieck um den festen Punkt C um diesen lila Winkel zurück. Dadurch kommen die rechten Winkel des Ausgangsdreieckes und des neuen Dreieckes aufeinander zu liegen (Abb. 3c).

Abb. 3: Drehungen

4 Das neue Drehzentrum

Die Zusammensetzung zweier Drehungen ist im Regelfall wieder eine Drehung. Wir suchen das Drehzentrum der Zusammensetzung.

Abb. 4: Drehzentrum der Zusammensetzung

Dieses Drehzentrum liegt auf den Mittelsenkrechten von zugeordneten Punkten (Abb. 4a und 4b).

Wir können zwei gleichschenklige Dreiecke mit der Spitze im neuen Drehzentrum einzeichnen (Abb. 4c). Der Winkel an der Spitze ist gleich dem lila Drehwinkel der zweiten Drehung. Die beiden gleichschenkligen Dreiecke sind also ähnlich.

5 Auswerten der Ähnlichkeit

Das eine gleichschenklige Dreieck (links in Abb. 4c) hat die Basis und die Höhe . Bei anderen Dreieck haben wir die Basis und die Höhe . Aus der Ähnlichkeit folgt:

(1)

Die Flächensumme der Kathetenquadrate ist invariant.

Die Abbildung 5 zeigt eine numerische Illustration. Der Thaleskreis ist der Einheitskreis, daher die Flächensumme 4.

Abb. 5: Invariante Flächensumme

Die Abbildung 6 zeigt eine standardisierte Anordnung.

Abb. 6: Standardisierte Anordnung

Abb. 7: Invariantes Zwiegespann

Website

Hans Walser: Pythagoras
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pythagoras2/Pythagoras2.htm