Hans Walser, [20231210]

Pythagoreische Dreiecke

Anregung: Thomas Jahre, Aufgabe 65 – 770

1 Worum es geht

Eine Zickzack-Linie im Rechteck führt zu pythagoreischen Dreiecken.

2 Problemstellung

Einem Rechteck soll eine gleichseitige Zickzack-Linie mit n Seiten einbeschrieben werden (Abb. 3 für n = 3). Die Gesamtlänge der Zickzack-Linie (rot in Abb. 1) soll gleich lang sein wie der halbe Umfang des Rechteckes (blau in Abb. 1).

Abb. 1: Zickzack-Linie im Rechteck

Fragen:

· Format des Rechteckes in Abhängigkeit von n

· Eigenschaft der gelben Stützdreiecke

3 Bearbeitung

Wir normieren die Länge des Rechteckes auf 1. Gesucht ist die Höhe h des Rechteckes.

Die Längenbedingung lautet:

Daraus ergibt sich für h die positive Lösung:

Die Lösung ist rational.

Daher sind auch die Seitenverhältnisse der gelben Stützdreiecke rational. Durch Erweitern können die Seitenverhältnisse ganzzahlig gemacht werden. Die Dreiecke sind also sogenannte pythagoreische Dreiecke.

4 Beispiele

4.1 n = 1

Für n = 1 gibt es keine Lösung, da die Diagonale im Rechteck kürzer ist als der halbe Umfang.

4.2 n = 2

Die gelben Stützdreiecke haben das Seitenverhältnis 3 : 4 : 5 (ägyptisches Dreieck).

Abb. 2: n = 2

4.3 n = 3

Die gelben Stützdreiecke haben das Seitenverhältnis 8 : 6 : 10 = 4 : 3 : 5 (ebenfalls ägyptisches Dreieck).

Abb. 3: n = 3

4.4 n = 4

Die gelben Stützdreiecke haben das Seitenverhältnis 15 : 8 : 17.

Abb. 4: n = 4

4.5 n = 5

Die gelben Stützdreiecke haben das Seitenverhältnis 24 : 10 : 26 = 12 : 5 : 13 (indisches Dreieck).

Abb. 5: n = 5

4.6 n = 6

Die gelben Stützdreiecke haben das Seitenverhältnis 35 : 12 : 37.

Abb. 6: n = 6

4.7 Animation

Abb. 7. n = 2, ... , 20

5 Bemerkungen

Zu gegebenem n haben die gelben Stützdreiecke das Seitenverhältnis (n² – 1) : 2n : (n² + 1).

Es erscheinen nicht alle pythagoreischen Dreiecke. Es fehlt zum Beispiel das Dreieck mit dem Seitenverhältnis 21 : 20 : 29.

Weblinks

Thomas Jahre

https://www.schulmodell.eu/aufgabe-der-woche.html