Hans Walser, [20080331b]

Punktraster

1 Worum es geht

Wir arbeiten mit einem regulären Quadratraster oder Dreiecksraster.

Quadratraster und Dreiecksraster

Auf dieses Raster wenden darauf eine affine Abbildung an. Bildraster und Ursprungsraster werden überlagert dargestellt.

2 Kleine Translation

Eine kleine Translation führt zu einem Schatten.

Schatten

3 Kleine Drehung

Eine kleine Drehung wird sichtbar.

Kleine Drehung

4 Perspektive

Wir stellen uns Urbildraster und Bildraster in parallelen, senkrecht stehenden Ebenen vor. Wenn wir das aus einem gewissen Abstand ansehen, erkennen wir infolge der Perspektive ein neues Muster. In den folgenden Figuren befinden wir uns vier mal den Abstand der beiden Ebenen vor der vorderen Ebene. Die vorderen Punkte sind entsprechend größer gezeichnet. Die Punkte sind durchscheinend gezeichnet. Die Überlagerung von blau und rot ergibt magenta. Wir erkennen ein Quadratraster und ein Dreiecksraster aus überlagerten Punkten.

Perspektive

Perspektive

5 Drehung des Quadratrasters um 45°. Streckung

Bei einer Drehung um 45° ergibt sich außerhalb des Drehzentrums keine exakte Überlagerung von Punkten der beiden Raster, auch wenn es fast so aussieht. Das liegt daran, dass eine irrationale Zahl ist.

Drehung um 45°

Weitere exakte Überlagerungen ergibt es, wenn wir noch eine Streckung einbauen mit einem Faktor, welcher enthält. Im folgenden Beispiel ist der Streckfaktor . Wir sehen ein quadratisches Überlagerungsraster, welches bezogen auf das ursprüngliche blaue Raster die Maschenweite 3 hat. Bezogen auf das rote Raster ist die Diagonalenlänge der Maschen nun 4.

Drehung mit kleiner Streckung. Streckfaktor

Direkt mit dem Streckfaktor ergibt sich:

Streckfaktor

6 Drehung des Dreiecksrasters um 30°. Streckung

Den analogen Effekt erhalten wir, wenn wir das Dreiecksraster um einen Rasterpunkt um 30° drehen.

Drehung um 30°

Bei einer Streckung um , also etwa um 1%, gibt es außerhalb des Zentrums exakte Überlagerungen — wo sind diese?

Drehung und kleine Streckung. Streckfaktor

Es geht aber bereits mit dem — allerdings größeren — Streckfaktor .

Streckfaktor

7 Pythagoreische Drehungen

7.1 Quadratraster

Können wir auch ohne Streckung, also mit einer reinen Drehung, exakte Überlagerungen erhalten? Im folgenden Bild ist der Drehwinkel .

Drehwinkel

Wir erkennen ein schräg liegendes quadratisches Überlagerungsraster mit Maschenweite und einer Steigung gegenüber der Horizontalen. Was steckt dahinter?

Wir alle kennen das rechtwinklige Dreieck mit den Kathetenlängen und sowie der Hypotenusenlänge . Der Witz ist, dass die Hypotenusenlänge c ebenfalls ganzzahlig ist, was bei beliebigen rechtwinkligen Dreiecken in der Regel nicht der Fall ist. Solche spezielle rechtwinklige Dreiecke mit ganzzahligen Kathetenlängen und ganzzahliger Hypotenusenlänge heißen pythagoreische Dreiecke.

Unser Drehwinkel ist aber der Winkel dieses Dreieckes mit den Kathetenlängen und sowie der Hypotenusenlänge . In der Tat können wir ein solches Dreieck in unser Raster einpassen.

Pythagoreisches Dreieck 3:4:5

Die Kathete a ist horizontal und misst 3 Einheiten im blauen Raster, die Kathete b ist vertikal und misst 4 Einheiten ebenfalls im blauen Raster, während die schräge Hypotenuse 5 Einheiten im roten Raster misst. Da wir aber nur gedreht und nicht gestreckt haben, sind die Maschenweiten in beiden Rastern gleich.

Wir sehen, dass auch In- und Umkreis des Dreieckes durch mehrere Rasterpunkte verlaufen.

Wir können auch noch ein drittes Raster ins Spiel bringen, indem wir das rote Raster um drehen. Das Bild davon ist in der folgenden Figur grün gezeichnet.

Drei Raster

Die exakten Überlagerungen aller drei Raster bilden ein schräg liegendes Quadratraster der Maschenweite 5 (dies ist im roten Raster nachprüfbar). Dieses neue Raster hat die Steigung .

Somit ist das Hypotenusenquadrat des rechtwinkligen Dreieckes ein Rasterquadrat dieses neuen Rasters. Selbstverständlich passt es auch in das rote Raster, da wir ein pythagoreisches Dreieck haben. Die beiden Kathetenquadrate passen in das ursprüngliche blaue Raster.

Hypotenusenquadrat

Erinnerung: Nach dem Satz des Pythagoras ist die Summe der beiden blauen Quadratflächen gleich der roten Quadratfläche.

Im nächst größeren pythagoreischen Dreieck ist , und . Wir arbeiten den Drehwinkel .

Pythagoreisches Dreieck 5:12:13

Das schräg liegende quadratische Überlagerungsraster hat die Machenweite und die Steigung (vgl. [Walser 1995], [Walser 1999], [Walser 2000]).

7.2 Dreiecksraster

Das Analogon zu den pythagoreischen Dreiecken im Dreiecksraster sind Dreiecke mit ganzzahligen Seiten a, b, c und einem Winkel . Aus dem Kosinussatz gilt dann die Beziehung:

Das einfachste Beispiel dazu ist das Dreieck mit den Seiten , und . Dieses hat den Winkel . Im folgenden Bild die beiden Raster bei einer Drehung um .

Drehung um

Wir sehen ein schräg liegendes Dreiecksraster mit der Maschenweite .

Im folgenden Bild ist auch das zugehörige „pythagoreische“ Dreieck eingezeichnet.

„Pythagoreisches“ Dreieck

Die Seiten a und b messen 3 beziehungsweise 5 Einheiten im blauen Raster, die Seite c misst 7 Einheiten im gedrehten roten Raster.

Wenn wir nochmals drehen und ein drittes Raster zeichnen (grün), ergibt sich folgendes Bild.

Drei Raster

Wir erkennen deutlich ein Dreiecksraster, das aus der exakten Überlagerung der drei Raster besteht.

Das gibt Anlass zur folgenden Figur. Wir setzen jeder Seite des ursprünglichen Dreieckes ein gleichseitiges Dreieck auf.

Aufgesetzte gleichseitige Dreiecke

Das erinnert irgendwie an die Figur des Pythagoras. Tatsächlich gilt auch hier eine Flächenbeziehung: Die Summe der beiden blauen Dreiecksflächen plus die Fläche des ursprünglichen (grünen) Dreieckes ist gleich der roten Dreiecksfläche.

Dies kann mit dem Kosinussatz bewiesen werden oder einfacher, indem wir die beiden blauen Dreiecke flächengleich umformen.

Beweisfigur

8 Wirbel

Durch eine kleine Drehstreckung entsteht der Eindruck eines Wirbels. Im folgenden Beispiel ist der Drehwinkel und der Streckfaktor .

Wirbel

Durch geeignete Wahl der Drehstreckung ergeben sich rasterförmig angeordnete Wirbel. Im folgenden Beispiel ist der Drehwinkel und der Streckfaktor

Mehrere Wirbelzentren

Im Dreiecksraster zunächst ein gewöhnlicher Wirbelsturm. Im folgenden Beispiel ist der Drehwinkel und der Streckfaktor .

Sturm im Wasserglas

Auch hier sind mehrere Zentren möglich. Im folgenden Beispiel ist der Drehwinkel und der Streckfaktor .

Mehrere Wirbelzentren

Literatur

[Walser 1995] Walser, Hans: Pythagoreische Dreiecke in der Gittergeometrie. Didaktik der Mathematik (23), 1995, Seiten 193 - 205.

[Walser 1999] Walser, Hans: Pythagoreische Dreiecke und Gittergeometrie. Beiträge zum Mathematikunterricht 1999. Vorträge auf der 33. Tagung für Didaktik der Mathematik vom 1. bis 5.3.1999 in Bern. Für die GDM herausgegeben von Michael Neubrand. Hildesheim: Franzbecker, 1999. ISBN 3-88120-304-4. S. 575-577

[Walser 2000] Walser, Hans: Lattice Geometry and Pythagorean Triangles. ZDM Zentralblatt für Didaktik der Mathematik. Jahrgang 32, April 2000, Heft 2, S. 32 - 35