Hans Walser, [20090829a]
Polyedermodelle aus rechteckigen Karten
Wir schrŠgen bei einem
Polyeder die Ecken ab und anschlie§end die ursprŸnglichen Kanten. Dadurch
entsteht aus jeder ursprŸnglichen Kante ein Viereck, und aus jeder
ursprŸnglichen Ecke ein Polygon der Seitenzahl, welche der Anzahl der
ursprŸnglich diese Ecke berŸhrenden SeitenflŠchen des Polyeders.
Illustration am
Dodekaeder.
Dodekaeder
Durch AbschrŠgen von
Ecken und Kanten entstehen Dreiecke und Rechtecke. Die Rechtecke — um
diese geht es bei unseren Modellen — sind Ÿbereck verbunden.
Leicht abgeschrŠgt
— Rechtecke
Wenn wir stŠrker
abschrŠgen, entsteht als Zwischenfall eine Figur mit Quadraten. Dies ist das so
genannte Rhombikosidodekaeder.
Zwischenfall Quadrate
Wenn wir noch stŠrker
abschrŠgen, Šndern die Rechtecke die LŠngsrichtung. Dasselbe erhalten wir, wenn
wir ein Ikosaeder leicht abschrŠgen.
Stark abgeschrŠgt
Wir bauen nun eine Modell mit Rechtecken. Es entspricht dem Fall ãstark abgeschrŠgtÒ.
Modell
Das Modell kann
verschieden interpretiert werden. Da die FŸnfecke fast eben sind, drŠngt sich
eine Interpretation als Dodekaeder auf. Andererseits kšnnen die gebogenen
Rechtecke — welche sich von selber so einbiegen — als breite
Kreisbogen interpretiert werden. So gesehen, haben wir ein Gro§kreisbogenmodell
des auf seine Umkugel projizierten Ikosaeders. Die DualitŠt von Dodekaeder und
Ikosaeder spielt hier hinein.
Gro§kreisbogenmodell des
Ikosaeders
Wir brauchen einen
einzigen Bauteiltyp, eben ein Rechteck als ãKarteÒ. Die Ausma§e des Rechteckes
sind frei.
Bauteil
Da es sich von der
Konstruktionsidee her um ein Kantenmodell handelt, brauchen wir fŸr jede Kante
einen Bauteil. Das fŸhrt dann zu doppelt so vielen Punktverbindungen.
In den folgenden
Beispielen werden verschiedene Materialien, Techniken und auch kombinatorische
Aspekte kombiniert.
Wir verwenden sechs
langgezogene Rechtecke.
Material: DŸnnes Blech
aus zerlegten GetrŠnkedosen
Punktverbindung:
M3-Metallschrauben mit Muttern
Gro§kreisbogenmodell des
Tetraeders
Es entsteht ein
Gro§kreisbogenmodell des Tetraeders.
Wenn wir hingegen die
Blechrechtecke lŠngs der langen Mittellinie falten, erhalten wir ein ãstrengesÒ
Tetraeder.
Kantenmodell des
Tetraeders
Der Faltwinkel ist der
Diederwinkel des Tetraeders (also der Schnittwinkel zweier an einer Kante
ansto§enden Seitendreiecke. Dieser Winkel ist . Dieser Winkel stellt sich beim Zusammenschrauben von selbst
ein.
Wir verwenden zwšlf
Rechtecke im Format DIN A7 in vier verschiedenen Farben. Die Rechtecke sind
lŠngs der langen Mittellinie gefaltet. Identische Bauteile fŸr WŸrfel und
Oktaeder (lediglich unterschiedlicher Faltwinkel, der sich aber selber
einstellt).
Material: Farbige
Karteikarten
Punktverbindung:
MustertŸtenklammern
WŸrfel
Die vier Farben sind so
verteilt, dass an keiner Ecke gleiche Farben zusammenkommen. Wir erhalten auf
allen sechs SeitenflŠchen jeder der vier Farben. Die Farbverteilung (in der
folgenden Figur ist Wei§ durch Schwarz ersetzt) auf den SeitenflŠchen ist (von
au§en gesehen) folgende:
Farbverteilung
Wir sehen, dass auf
jeder Seite eine andere Farbverteilung entsteht. Andererseits gibt es kombinatorisch
fŸr vier Elemente zyklische
Anordnungen. Dies kann so eingesehen werden: Die Anzahl 4! der linearen
Anordnungen (Permutationen) muss durch 4 dividiert werden, da bei einer
zyklischen Anordnung jedes Element die Rolle des ersten Elementes spielen kann
— an einem runden Tisch gibt es keinen Vorsitzenden. Wir haben also in
unserem Modell gerade alle kombinatorisch mšglichen Farbanordnungen realisiert.
An den Ecken haben wir
je eine Auswahl von drei der vier Farben. Diese Dreierauswahl kann auf zwei
Arten zyklisch angeordnet werden. Die Anzahl der Mšglichkeiten ist also:
Jede der acht
WŸrfelecken zeigt eine andere der acht Mšglichkeiten. Dieselbe Dreierauswahl
der Farben, aber in unterschiedlicher zyklischer Anordnung, findet sich bei
diametral gegenŸberliegender Ecken.
In der folgenden
Ansicht — das Oktaeder steht auf einer Ecke — sehen wir die kombinatorische
Analogie zum oben abgebildeten WŸrfel. Die Begriffe SeitenflŠche und Ecke sind
zu vertauschen. Darin zeigt sich die so genannte DualitŠt von WŸrfel und Oktaeder.
Oktaeder, auf der Spitze
stehend
Im Eckstand ist das
Oktaeder in einem etwas labilen Gleichgewicht. †blicherweise steht es auf einer
SeitenflŠche.
Oktaeder, der
Schwerkraft gehorchend
Material:
-
Karteikarten, zum Beispiel im Format DIN A7
-
DŸnnes Blech aus zerlegten GetrŠnkedosen. Kann mit
einer starken Schere geschnitten werden. Vorsicht: Verletzungsgefahr bei
scharfen Kanten und Ecken.
Punktverbindungen:
-
MustertŸtenklammern. Die Lšcher dazu werden mit einer
Lochzange gestanzt, Lochdurchmesser ca. 3.5 mm. Es empfiehlt sich, eine
Kartonschablone des Bauteils zu verwenden, dann kšnnen die Lšcherpositionen
schnell aufgezeichnet werden. Es ist bei einiger Sorgfalt mšglich, mehrere
Karten gestapelt simultan zu lochen.
-
Metallschrauben M3 mit Muttern. Lšcher mit 3.5 mm
Bohrer