Hans Walser, [20230714]

Perfekt zerlegbar

Anregung: Müller 2013, S. 53, Bild 32

1 Worum es geht

Zerlegung eines Viereckes in eine ungerade Anzahl dazu ähnliche, aber untereinander nicht kongruente Teilvierecke.

2 Beispiel 1

2.1 Zerlegung

Die Abbildung 1 zeigt die Zerlegung eines Viereckes (grün) in drei dazu ähnliche, aber untereinander nicht kongruente Teilvierecke.

Abb. 1: Zerlegung des grünen Viereckes

In den Abbildungen 2 und 3 sind die Vierecke so angeordnet, dass die Ähnlichkeit plausibel erscheint.

Abb. 2: Anordnung einzeln

Abb. 3: Anordnung überlagert

2.2 Berechnungen

Wir ergänzen das Viereck zu einem rechtwinklig-gleichschenkligen Dreieck und normieren die Kathetenlänge auf 1. Für das rote Viereck verwenden wir die Bezeichnungen der Abbildung 4.

Abb. 4: Bezeichnungen

Auf Grund der Ähnlichkeit folgen die Streckenlängen der Abbildung 5. Der Verkleinerungsfaktor von einem Viereck auf das nächste ist jeweils b.

Abb. 5: Hier fängt das Rechnen an

Aus der Abbildung 5 lesen wir folgende Bedingungen ab:

Dieses Gleichungssystem habe ich mit CAS bearbeitet.

Die exakte Lösung enthält Wurzeln (Nullstellen) von Polynomen vierten Grades:

a = -(sqrt(2)*RootOf(-sqrt(2)*_Z^3 + _Z^4 - sqrt(2)*_Z + 1, index = 1)^3 - RootOf(-sqrt(2)*_Z^3 + _Z^4 - sqrt(2)*_Z + 1, index = 1)^2 - 2)/(RootOf(-sqrt(2)*_Z^3 + _Z^4 - sqrt(2)*_Z + 1, index = 1)^2*sqrt(2) + RootOf(-sqrt(2)*_Z^3 + _Z^4 - sqrt(2)*_Z + 1, index = 1) + sqrt(2))

b = RootOf(-sqrt(2)*_Z^3 + _Z^4 - sqrt(2)*_Z + 1, index = 1)

c = (-2*RootOf(-sqrt(2)*_Z^3 + _Z^4 - sqrt(2)*_Z + 1, index = 1)^3 + sqrt(2) - RootOf(-sqrt(2)*_Z^3 + _Z^4 - sqrt(2)*_Z + 1, index = 1))/(RootOf(-sqrt(2)*_Z^3 + _Z^4 - sqrt(2)*_Z + 1, index = 1)^2*sqrt(2) + RootOf(-sqrt(2)*_Z^3 + _Z^4 - sqrt(2)*_Z + 1, index = 1) + sqrt(2))

Die für unser Problem relevanten numerischen Lösungen sind:

a = 0.8259837264, b = 0.5882298352, c = 0.1681173887

3 Beispiel 2

3.1 Zerlegung

Die Abbildung 6 zeigt die Zerlegung eines Viereckes (grün) in fünf dazu ähnliche, aber untereinander nicht kongruente Teilvierecke. Das grüne Viereck ist verschieden vom grünen Viereck der Abbildungen 1 bis 3.

Abb. 6: Zerlegung des grünen Viereckes

In den Abbildungen 7 und 8 sind die Vierecke so angeordnet, dass die Ähnlichkeit plausibel erscheint.

Abb. 7: Alli mini Entli

Abb. 8: Anordnung überlagert

3.2 Berechnung

Die Abbildung 9 gibt die Grundlagen für die rechnerische Behandlung. Es ist eine Systematik ersichtlich.

Abb. 9: Berechnung

Die numerischen Lösungen sind:

a = 0.7682176172, b = 0.6459959450, c = 0.08642377287

4 Animation

Die Abbildung 10 zeigt die Situation für die ersten ungeraden Zahlen. Die Vierecke nähern sich rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecken an.

Abb. 10: Animation

Literatur

Müller, Carsten (2013): 50 Jahre Spezi in Jena. Ein mathematischer Blick auf eine ganz SPEZIelle Schule. BoD – Books on Demand GmbH. Norderstedt. ISBN 978-3-7322-2973-4.