Hans Walser, [20110129a]

Pentagramma mirificum

Anregung: [Heinrich 2010]

1        Worum es geht

Ein Pentagramma mirificum ist ein sphŠrisches Pentagramm mit rechten Winkeln an den Spitzen. Die Abbildung zeigt ein Beispiel in stereografischer Projektion. Der blaue Kreis ist der Hauptkreis (Bild des €quators in Standarddisposition).

Pentagramma mirificum

1.1      Pol und Polare

Bezeichnungen

Wegen der rechten Winkel bei C und D ist  ein Pol zu a. Daher haben die Bšgen , ,  und  alle die LŠnge . Analog fŸr die Ÿbrigen vier Seiten des Pentagramms.

1.2      Konstruktion

Wir beginnen mit einem bei A rechtwinkligen Dreieck .

Erster Schritt

Nun zeichnen wir . Der Schnittpunkt mit dem Gro§kreis  sei D, der Schnittpunkt mit dem Gro§kreis  sei  und der Schnittpunkt mit dem Gro§kreis  sei E. Es ergeben sich die beiden rechten Winkel bei D und E.

Zweiter Schritt

Als letztes zeichnen wir . Wir erhalten die Schnittpunkte und rechten Winkel gemŠ§ Abbildung. Damit ist das Pentagramma mirificum komplett.

Dritter und letzter Schritt

Als Folge der rechten Winkel sind  der Gro§kreis ,  der Gro§kreis  und  der Gro§kreis .

Wir haben eine erstaunliche fŸnfteilige Schlie§ungsfigur.

In der folgenden Abbildung sind auch noch das Pentagramm  eingezeichnet. Dieses Pentagramm hat die SeitenlŠnge .

Kleines Pentagramm


2        Das regelmŠ§ige Pentagramma mirificum

2.1      Berechnungen

Die Abbildung zeigt das regelmŠ§ige Pentagramma mirificum.

RegelmŠ§iges Pentagramma mirificum

FŸr die eingezeichneten BogenlŠngen x und y gilt zunŠchst:

 

Der sphŠrische Pythagoras liefert . Damit erhalten wir:

Damit wird:

Uns interessiert nur die reelle Lšsung, also . Hier erscheint der goldene Schnitt (vgl. [Walser 2009]).

2.2      Der goldene Schnitt

Mit der Bezeichnung  erhalten wir:

Wegen  folgt:

2.3      Diagonalen

Wir fŸhren nun auch noch die inneren Diagonalen ein.

Diagonalen und Bezeichnungen

Auf Grund der PolaritŠtsbeziehungen erscheinen x und y nun auch als Winkel. Diese sind in der Abbildung blau markiert. Wir berechnen z und w. Der Sinn dieser fŸrchterlichen Rechungen ist, nachher ein handfestes Modell zu bauen.

Im Dreieck  erhalten wir mit dem Winkel-Kosinus-Satz:

Mit dem Seiten-Kosinus-Satz ergibt sich weiter:

Im Dreieck  ergibt sich mit dem Seiten-Kosinus-Satz:

2.4      Streifenmodell

FŸr ein Streifenmodell (vgl. [Walser 2010]) brauchen wir Streifen nach folgendem Ma§muster. Dabei ist , ,  und .

Vom ersten Streifentyp (rot) benštigen wir 5 Exemplare, diese Streifen beranden das regelmŠ§ige Pentagramma mirificum. Vom zweiten Streifentyp (schwarz) benštigen wir ebenfalls 5 Exemplare, diese Streifen bilden die Diagonalen. Der dritte Streifen (blau) kann optional fŸr den Hauptkreis (€quator) verwendet werden, wir benštigen nur ein Exemplar.

Wir erhalten damit je ein regelmŠ§iges Pentagramma mirificum auf jeder HalbsphŠre. Wenn wir nur eine HalbsphŠre mit einem regelmŠ§igen Pentagramma mirificum haben wollen, brauchen wir von den roten und schwarzen Streifen nur je die HŠlfte.

Streifenmuster

Die folgende Abbildung zeigt die obere HalbsphŠre in stereografischer Projektion.

Ober HalbsphŠre

Die folgenden Abbildungen zeigen ein Halbkugelmodell. Das Penatgramma mirificum wird durch gelbe Streifen gebildet. Die Diagonalen sind schwarz und der €quator grŸn. Zuerst ein SchrŠgbild und dann ein Bild von ganz oben.

Halbkugelmodell

Instruktiv ist auch ein Blick ins Innere der Halbkugel.

Sicht von innen

Literatur

[Heinrich 2010]          Heinrich, Frank: Pentagrammafigurationen. MU Der Mathematikunterricht. Elemente nichteuklidischer Geometrien. Jahrgang 56. Heft 6. Dezember 2010. Friedrich Verlag, Seelze. S. 39-52.

[Walser 2009]             Walser, Hans: Der Goldene Schnitt. 5., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2009. ISBN 978-3-937219-98-1

[Walser 2010]             Walser, Hans: Handgreifliche Modelle der Kugelgeometrie und der hyperbolischen Geometrie. MU Der Mathematikunterricht. Elemente nichteuklidischer Geometrien. Jahrgang 56. Heft 6. Dezember 2010. Friedrich Verlag, Seelze. S. 28-37.