Hans Walser, [20240411]

Parallelogrammfiguren

1 Worum es geht

Verallgemeinerung von Parallelogramm, Parallelepiped (Spat)

2 Konstruktion

Wir beginnen mit n Vektoren v[0], .. , v[n – 1] in zyklischer Indizierung, also modulo n. Diese Vektoren setzen wir bei einem Startpunkt an.

Im folgenden Beispiel arbeiten wir mit den 5 Vektoren:

v[0] := [2,1,3]:

v[1] := [1,3,1]:

v[2] := [-2,3,2]:

v[3] := [0,-3,3]:

v[4] := [2,-3,2]:

Nun ergänzen wir aufeinanderfolgende Vektoren zu einem Parallelogramm (Abb. 1).

Abb. 1: Parallelogramme

In die Lücken zwischen zwei Parallelogrammen fügen wir je ein zweites Parallelogramm ein (blau in Abb. 2).

Abb. 2: Zweiter Ring von Parallelogrammen

Die Abbildung 3 zeigt den nächsten Schritt.

Abb. 3: Dritter Ring von Parallelogrammen

Beim vierten Schritt (allgemein bei Schritt n – 1) schließ sich die Figur (Abb. 4 und Abb. 5).

Abb. 4: Schließungsfigur

Abb. 5: Schließungsfigur

Die Figur ist punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum ist gegeben durch die Hälfte der Summe der n Startvektoren. In unserem Beispiel ist:

Symmetriezentrum := [3/2, 1/2, 11/2]

3 Andere Anordnung

Wir ändern die zyklische Anordnung der Vektoren wie folgt:

v[0] := [2,1,3]:

v[1] := [-2, 3, 2]:

v[2] := [2, -3, 2]:

v[3] := [1, 3, 1]:

v[4] := [0, -3, 3]:

Damit ergibt sich die Schließungsfigur der Abbildungen 6 und 7. Die Figur hat Selbstdurchdringungen.

Abb. 6: Andere zyklische Reihenfolge

Abb. 7: Selbstdurchdringungen

4 Sonderfälle

4.1 Rhomben

Im folgenden Beispiel arbeiten wir wieder mit den 5 Vektoren:

v[0] := [2,1,3]:

v[1] := [1,3,1]:

v[2] := [-2,3,2]:

v[3] := [0,-3,3]:

v[4] := [2,-3,2]:

Wir normieren nun aber die Vektoren auf die Länge 1. Damit ergibt sich eine Figur mit Rhomben (Abb. 8 und 9).

Abb. 8: Normierung

Abb. 9: Rhomben

4.2 Drehsymmetrie

Zusätzlich zur Normierung wählen wir die Vektoren mit einer Drehsymmetrie (Abb. 10 und Abb. 11).

Abb. 10: Drehsymmetrie

Abb. 11: Drehsymmetrie

4.3 Andere Anordnung

Im Beispiel der Abbildungen 12 und 13 sind die Vektoren der Abbildungen 10 und 11 zyklisch anders angeordnet.

Abb. 12: Andere Anordnung

Abb. 13: Andere Anordnung