Hans Walser, [20110522a], [20150105]

Ein Paradoxon beim Testen

Anregung: M. S., B.

1        Das Einstiegsbeispiel

Ein HIV-Test reagiert bei HIV-positiven Personen mit 90% Wahrscheinlichkeit positiv. Bei HIV-negativen Personen gibt er mit 5% Wahrscheinlichkeit irrtŸmlicherweise auch ein positives Resultat.

Das Testverfahren geht nun so vor sich, dass zunŠchst jede Person mit diesem Test getestet wird. Da es bekanntlich in denjenigen FŠllen mit einem positiven Testresultat viele ãFehlalarmeÒ hat, wird bei positivem Testresultat der Test wiederholt.

Es werden 1'000'000 Personen getestet. Dabei haben 134'930 Personen auch beim zweiten Test ein positives Testresultat.

Welcher Anteil der getesteten Personen ist tatsŠchlich HIV-positiv?

2        Bearbeitung

Es sei x der zu schŠtzende Anteil der tatsŠchlich HIV-positiven Personen.

 

Baum

 

Aus der Baumdarstellung lesen wir ab:

 

Daraus ergibt sich . Der gesuchte Anteil ist 16.4%, also etwa 164'000 Personen. Wir haben eine Dunkelziffer.

Und nun das Paradoxon: Wenn der Test bei zweimal positivem Testresultat ein drittes Mal wiederholt wird, ergibt sich die Gleichung

 

mit der Lšsung . Die Dunkelziffer wird grš§er.

Wir bezeichnen mit  die Lšsung der Gleichung

 

Die Tabelle zeigt die Lšsungen.

 

1

0.099918

2

0.164

3

0.18495

4

0.20565

5

0.2285

6

0.25389

7

0.28211

8

0.31345

9

0.34828

10

0.38698

11

0.42997

12

0.47775

13

0.53083

14

0.58981

15

0.65535

16

0.72816

17

0.80907

18

0.89897

19

0.99885

20

1.1098

 

Wir sehen, dass fŸr  der Anteil der tatsŠchlich HIV-positiven Personen die 100%-Grenze Ÿbersteigt.

Der ãHundÒ liegt darin, dass wir immer mit derselben Anzahl von 134'930 Personen gerechnet haben, welche nach mehrfach positivem Testergebnis weiter getestet wurden.

3        Mehrfaches Testen

Wir sehen nun die Sache in umgekehrter Richtung an und gehen davon aus, dass 100'000 Personen tatsŠchlich HIV-positiv seien. Bei einmaligem Testen ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit positivem Testresultat tatsŠchlich HIV-positiv ist, gegeben durch die bedingte Wahrscheinlichkeit:

 

 

Wir haben also einen Drittel Fehlalarme. Wir hingegen bei positivem Testresultat der Test wiederholt, ergibt sich:

 

 

Die Fehlalarmquote ist nur noch etwa 3%. Sie tendiert bei weiteren Testwiederholungen gegen Null.

Allerdings werden bei jeder Testwiederholung tatsŠchlich HIV-positive Personen aus der Berechnung ausgeschieden.

 

n

Noch zu testende Personen

HIV-positiv

HIV-negativ

Bedingte Wahrscheinlichkeit

1

135000

90000

45000

0.6666666667

2

83250

81000

2250

0.972972973

3

73012

72900

112

0.9984660056

4

65616

65610

6

0.9999085589

5

59049

59049

0

1.0

6

53144

53144

0

1.0

7

47830

47830

0

1.0

8

43047

43047

0

1.0

9

38742

38742

0

1.0

10

34868

34868

0

1.0

11

31381

31381

0

1.0

12

28243

28243

0

1.0

13

25419

25419

0

1.0

14

22877

22877

0

1.0

15

20589

20589

0

1.0

16

18530

18530

0

1.0

17

16677

16677

0

1.0

18

15009

15009

0

1.0

19

13509

13509

0

1.0

20

12158

12158

0

1.0