1 Worum es geht

Rekonstruktion einer Parabel mit einer dem de-Casteljau-Algorithmus verwandten Methode in einem passenden Viereck (Abb. 1).

Abb. 1: Algorithmus im Viereck

2 Die Parabel

Die Parabel sei durch Brennpunkt und Leitlinie gegeben (Abb. 2). Gesucht ist ein passendes Viereck.

Abb. 2: Parabel

3 Konstruktionsweg

Wir wählen zwei beliebige Punkte auf der Parabel (Abb. 3).

Abb. 3: Zwei Punkte auf der Parabel

Durch diese zwei Punkte legen wir je eine Normale zur Leitgeraden (also parallel zur Symmetrieachse der Parabel). So entsteht ein Streifen (Abb. 4).

Abb. 4: Streifen

Wir schneiden die Mittelparallele des Streifens mit der Parabel (Abb. 5). Dieser Schnittpunkt wird später zum Eckenschwerpunkt des gesuchten Viereckes.

Abb. 5: Mittelparallele und zukünftiger Eckenschwerpunkt

Auf einer der beiden Randparallelen des Streifens wählen wir einen beliebigen Punkt (Abb. 6). Dieser wird später zu einem Eckpunkt des gesuchten Viereckes.

Abb. 6: Punkt auf Randparallele

Wir ergänzen diesen Punkt zusammen mit den beiden zuerst gewählten Punkten auf der Parabel zu einem Viereck, so dass der Schnittpunkt der Parabel mit der Mittelparallele der Eckenschwerpunkt des Viereckes wird (Abb. 7). Das Viereck ist ein Trapez.

Abb. 7: Viereck

4 Der Algorithmus

Der dem de-Casteljau-Algorithmus nachempfundene Algorithmus geht nun wie folgt. Wir wählen ein beliebiges Teilverhältnis und unterteilen die Seiten des Viereckes damit (blaue Teilpunkte in Abb. 8).

Abb. 8: Teilpunkte

Wir verbinden gegenüberliegende Teilverhältnisse (blau in Abb. 9). Der Schnittpunkt der Verbindungslinien liegt auf der Parabel. Wer Lust hat, kann dies beweisen.

Abb. 9: Verbindungen und Schnittpunkt

Durch Variation des Teilverhältnisses erhalten wir ein Stück der Parabel, nämlich eine parabolische Diagonale im Viereck.

Werden die blauen Verbindungsstrecken durch Geraden ersetzt und auch äußere Teilpunkte zugelassen, erhalten wir die ganze Parabel (Abb. 10, Geduld bringt Rosen).

Abb. 10: Weiterführung der Parabel

Links

Hans Walser: Varignon

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Varignon6/Varignon6.html

Hans Walser: Parabeln im Viereck

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Parabeln_im_Viereck/Parabeln_im_Viereck.html