Hans Walser, [20080113a]

Parabeln

Anregung: Archimedes. [Netz/Noel 2007]

1        Worum es geht

Es werden Parabeln mit Hilfe von VerhŠltnissen punktweise konstruiert.

2        Grundkonstruktion

Wir wŠhlen einen Punkt  auf der Basislinie des Einheitsquadrates und konstruieren dann den Punkt P gemŠ§ der in der Figur angedeuteten Reihenfolge.

Konstruktion

Der Punkt P liegt auf der Parabel .

Zur BegrŸndung die Bezeichnungen  und . Wegen (1), (2) und (3) ist . Da (4) und (5) parallele Geraden sind, folgt:

Wegen  erhalten wir daraus:

Wir haben eine so genannte ãmittlere ProportionaleÒ . Es ist: .

Mit Cabri-GŽomtre lŠsst sich dann mit dem Befehl Ortskurve die Parabel zeichnen. Es empfiehlt sich dabei, fŸr  nur ein beschrŠnktes Intervall auf der Basislinie zuzulassen, eine Strecke also, statt der ganzen Geraden. Cabri-GŽomtre hat sonst Schwierigkeiten.


Die Konstruktion funktioniert auch fŸr negative .

Negativer x0-Wert

3        Affine Verallgemeinerung

Wir kšnnen das Einheitsquadrat durch ein Parallelogramm ersetzen.

Affine Verzerrung


4        Parabeln hšheren Grades

Wenn wir das VerhŠltnis  ein weiteres Mal Ÿbertragen, ergibt sich eine kubische Parabel.

Kubische Parabel

Und so weiter.

Parabeln der Grade 2 bis 6

5        Negative Exponenten

Durch eine kleine Modifikation erhalten wir . Das VerhŠltnis wird umgekehrt abgetragen.

Grad –1

Auch das lŠsst sich weiterfŸhren.

Grade –1, –2, –3


Literatur

[Netz/Noel 2007]        Netz, Reviel und Noel,William: Der Kodex des Archimedes. Das berŸhmteste Palimpsest der Welt wird entschlŸsselt. Aus dem Englischen von Thomas Filk. 2. Auflage. MŸnchen: Verlag C. H. Beck 2007. ISBN 978 3 406 56336 2