Hans Walser, [20230610]

Parabel

1 Worum geht es?

Parabel als Funktionsgraf und als geometrisches Objekt

2 Funktionsgraf

In der Schule pflegt man zu sagen, eine quadratische Parabel sei durch drei Punkte gegeben (Abb. 1).

Abb. 1: Parabel durch drei Punkte

Das Verfahren wird eingeübt: In den Ansatz y = ax² + bx + c werden die Koordinaten der drei gegebenen Punkte eingesetzt. Das entstehende Gleichungssystem wird nach a, b, c aufgelöst. Dann kann der Graf gezeichnet werden.

3 Parabel

Andererseits ist ein Kegelschnitt – und dazu gehören auch die Parabeln – durch fünf Punkte festgelegt. Daher gibt es unendlich viele Parabeln durch drei gegebene Punkte (Abb. 2):

Abb. 2: Parabeln durch drei Punkte

4 Der Witz der Sache

Funktionsgrafen sind schöne Kurven.

Nicht jede schöne Kurve ist ein Funktionsgraf.

Mit dem Ansatz y = ax² + bx + c ergibt sich der Funktionsgraf der Funktion:

y = f(x) = ax² + bx + c

Eine Funktion ist nur sinnvoll in einem input-output-Koordinatensystem. Insbesondere muss es zu einem gegebenen x-input genau einen y-output geben. Bei einer quadratischen Funktion ergibt sich als Funktionsgraf eine Parabel mit einer zur y-Achse parallelen Symmetrieachse.

Für eine Parabel als geometrisches Objekt ist dies aber nicht zwingend.

5 Technisches Vorgehen

Ich habe folgendes Vorgehen gewählt.

Die drei gegebenen Punkte drehe ich um den Ursprung um einen beliebigen Winkel t zurück. Zu den gedrehten Punkten ermittle ich im gegebenen Koordinatensystem die Parabel gemäß dem Ansatz y = f(x) = ax² + bx + c. Die entstehende Parabel hat dann also eine senkrechte Symmetrieachse. Nun drehe ich diese Parabel um den Ursprung um den Winkel t vorwärts. Dies gibt die schiefe Parabel durch die drei gegebenen Punkte.

6 Kubische Parabeln

Die Abbildung 3 zeigt das analoge Spielchen für kubische Parabeln.

Abb. 3: Kubische Parabeln