1 Problemstellung

Es gibt auch Primzahlen, die die Eigenschaft haben, dass sie ein Palindrom sind. Zwei solche Primzahlen bilden genau dann ein Zwillingspaar, wenn zwischen ihnen keine weitere Primzahl liegt. Es sind alle Paare zu finden, die zwischen 100 und 100 000 liegen.

2 Primzahlen

Die Tabelle 1 zeigt die Primzahlen zwischen 1 und 1000 im Dezimalsystem.

Gelb unterlegt sind die palindromischen Primzahlen.

Wir sehen am Anfang ein Quintupel von Primzahlen und später drei Paare (#42/#43, #138/#139, #157/#158) von aufeinanderfolgenden palindromischen Primzahlen (das sind die gesuchten Zwillingspaare).

#	Primzahl	#	Primzahl	#	Primzahl	#	Primzahl
1	2	43	191	85	439	127	709
2	3	44	193	86	443	128	719
3	5	45	197	87	449	129	727
4	7	46	199	88	457	130	733
5	11	47	211	89	461	131	739
6	13	48	223	90	463	132	743
7	17	49	227	91	467	133	751
8	19	50	229	92	479	134	757
9	23	51	233	93	487	135	761
10	29	52	239	94	491	136	769
11	31	53	241	95	499	137	773
12	37	54	251	96	503	138	787
13	41	55	257	97	509	139	797
14	43	56	263	98	521	140	809
15	47	57	269	99	523	141	811
16	53	58	271	100	541	142	821
17	59	59	277	101	547	143	823
18	61	60	281	102	557	144	827
19	67	61	283	103	563	145	829
20	71	62	293	104	569	146	839
21	73	63	307	105	571	147	853
22	79	64	311	106	577	148	857
23	83	65	313	107	587	149	859
24	89	66	317	108	593	150	863
25	97	67	331	109	599	151	877
26	101	68	337	110	601	152	881
27	103	69	347	111	607	153	883
28	107	70	349	112	613	154	887
29	109	71	353	113	617	155	907
30	113	72	359	114	619	156	911
31	127	73	367	115	631	157	919
32	131	74	373	116	641	158	929
33	137	75	379	117	643	159	937
34	139	76	383	118	647	160	941
35	149	77	389	119	653	161	947
36	151	78	397	120	659	162	953
37	157	79	401	121	661	163	967
38	163	80	409	122	673	164	971
39	167	81	419	123	677	165	977
40	173	82	421	124	683	166	983
41	179	83	431	125	691	167	991
42	181	84	433	126	701	168	997

Tab. 1: Primzahlen

3 Palindromische Primzahlen

In der Tabelle 2 sind die palindromischen Primzahlen im Dezimalsystem zwischen 1 und 1 000 000 aufgelistet. Rot unterlegt sind die Zwillinge. Gegenüber der Tabelle 1 sind keine weiteren Zwillinge mehr aufgetaucht.

#	Primzahl	#	Primzahl	#	Primzahl	#	Primzahl
1	2	1647	13931	3766	35353	7737	78887
2	3	1682	14341	3799	35753	7781	79397
3	5	1726	14741	3848	36263	7809	79697
4	7	1805	15451	3877	36563	7836	79997
5	11	1814	15551	3947	37273	8780	90709
26	101	1867	16061	3980	37573	8804	91019
32	131	1897	16361	4023	38083	8997	93139
36	151	1917	16561	4030	38183	9004	93239
42	181	1928	16661	4087	38783	9047	93739
43	191	2009	17471	4136	39293	9074	94049
65	313	2060	17971	6959	70207	9100	94349
71	353	2083	18181	6987	70507	9128	94649
74	373	2117	18481	6995	70607	9147	94849
76	383	2196	19391	7059	71317	9153	94949
129	727	2250	19891	7119	71917	9249	95959
134	757	2260	19991	7149	72227	9274	96269
138	787	3255	30103	7193	72727	9291	96469
139	797	3267	30203	7222	73037	9316	96769
157	919	3285	30403	7235	73237	9365	97379
158	929	3312	30703	7271	73637	9385	97579
1263	10301	3320	30803	7305	74047	9409	97879
1285	10501	3341	31013	7371	74747	9448	98389
1293	10601	3391	31513	7444	75557	9474	98689
1367	11311	3467	32323	7513	76367
1377	11411	3480	32423	7540	76667
1483	12421	3590	33533	7603	77377
1519	12721	3691	34543	7610	77477
1528	12821	3719	34843	7660	77977
1583	13331	3736	35053	7701	78487
1635	13831	3749	35153	7727	78787

Tab. 2: Palindromische Primzahlen

4 Zwillingspaare

Auch im Bereich zwischen 1 und 100 000 000 gibt es nur diese Zwillinge (Tab. 3).

#	#+1	Palindromische Primzahl	Palindromische Primzahl
1	2	2	3
2	3	3	5
3	4	5	7
4	5	7	11
42	43	181	191
138	139	787	797
157	158	919	929

Tab. 3: Zwillinge

Der Autor weiß nicht, ob es im Dezimalsystem weitere Zwillinge gibt.

5 Dualsystem

5.1 Primzahlen

Die Tabelle 4 zeigt die Primzahlen der Tabelle 1 im Dualsystem. Natürlich sieht es mit der Symmetrie jetzt ganz anders aus.

#	Primzahl	#	Primzahl	#	Primzahl	#	Primzahl
1	10	43	10111111	85	110110111	127	1011000101
2	11	44	11000001	86	110111011	128	1011001111
3	101	45	11000101	87	111000001	129	1011010111
4	111	46	11000111	88	111001001	130	1011011101
5	1011	47	11010011	89	111001101	131	1011100011
6	1101	48	11011111	90	111001111	132	1011100111
7	10001	49	11100011	91	111010011	133	1011101111
8	10011	50	11100101	92	111011111	134	1011110101
9	10111	51	11101001	93	111100111	135	1011111001
10	11101	52	11101111	94	111101011	136	1100000001
11	11111	53	11110001	95	111110011	137	1100000101
12	100101	54	11111011	96	111110111	138	1100010011
13	101001	55	100000001	97	111111101	139	1100011101
14	101011	56	100000111	98	1000001001	140	1100101001
15	101111	57	100001101	99	1000001011	141	1100101011
16	110101	58	100001111	100	1000011101	142	1100110101
17	111011	59	100010101	101	1000100011	143	1100110111
18	111101	60	100011001	102	1000101101	144	1100111011
19	1000011	61	100011011	103	1000110011	145	1100111101
20	1000111	62	100100101	104	1000111001	146	1101000111
21	1001001	63	100110011	105	1000111011	147	1101010101
22	1001111	64	100110111	106	1001000001	148	1101011001
23	1010011	65	100111001	107	1001001011	149	1101011011
24	1011001	66	100111101	108	1001010001	150	1101011111
25	1100001	67	101001011	109	1001010111	151	1101101101
26	1100101	68	101010001	110	1001011001	152	1101110001
27	1100111	69	101011011	111	1001011111	153	1101110011
28	1101011	70	101011101	112	1001100101	154	1101110111
29	1101101	71	101100001	113	1001101001	155	1110001011
30	1110001	72	101100111	114	1001101011	156	1110001111
31	1111111	73	101101111	115	1001110111	157	1110010111
32	10000011	74	101110101	116	1010000001	158	1110100001
33	10001001	75	101111011	117	1010000011	159	1110101001
34	10001011	76	101111111	118	1010000111	160	1110101101
35	10010101	77	110000101	119	1010001101	161	1110110011
36	10010111	78	110001101	120	1010010011	162	1110111001
37	10011101	79	110010001	121	1010010101	163	1111000111
38	10100011	80	110011001	122	1010100001	164	1111001011
39	10100111	81	110100011	123	1010100101	165	1111010001
40	10101101	82	110100101	124	1010101011	166	1111010111
41	10110011	83	110101111	125	1010110011	167	1111011111
42	10110101	84	110110001	126	1010111101	168	1111100101

Tab. 4: Primzahlen im Dualsystem

5.2 Palindromische Primzahlen

In der Tabelle 5 sind nun die im Dualsystem palindromischen Primzahlen zwischen 1 und 1 000 000_Dez aufgelistet. Es sind mehr als im Dezimalsystem.

Es hat ein Tripel am Anfang, aber keine weiteren Paare.

#	Primzahl	#	Primzahl	#	Primzahl	#	Primzahl
2	11	3284	111011010110111	24535	1000100101010010001	32951	1011110110110111101
3	101	3360	111100111001111	24605	1000100110110010001	33653	1100001000001000011
4	111	3412	111101111101111	24836	1000101100011010001	33865	1100001101011000011
7	10001	6543	10000000000000001	24969	1000101111111010001	33957	1100001111111000011
11	11111	6966	10001001010010001	25017	1000110001000110001	34367	1100011010101100011
21	1001001	7092	10001011111010001	25065	1000110010100110001	34682	1100100010100010011
28	1101011	7199	10001110001110001	25289	1000110111110110001	34885	1100100111110010011
31	1111111	7337	10010001010001001	25504	1000111101011110001	34898	1100101000001010011
55	100000001	7461	10010011111001001	25649	1001000001000001001	35984	1101000011100001011
65	100111001	7648	10010111111101001	25705	1001000010100001001	36055	1101000101010001011
86	110111011	7651	10011000000011001	25747	1001000011100001001	36315	1101001011101001011
196	10010101001	7762	10011010101011001	25781	1001000100010001001	36951	1101011011101101011
231	10110101101	7928	10011110001111001	26243	1001001111111001001	37283	1101100011100011011
248	11000100011	8131	10100010101000101	26404	1001010011100101001	37442	1101100111110011011
256	11001010011	8165	10100011011000101	26633	1001011001001101001	37488	1101101001001011011
277	11011111011	8287	10100110001100101	26763	1001011100011101001	37646	1101101101011011011
282	11100100111	8344	10100111011100101	27002	1001100010100011001	37708	1101101110111011011
289	11101010111	8391	10101000100010101	27182	1001100110110011001	38105	1101111001001111011
654	1001100011001	8424	10101001010010101	27232	1001101000001011001	38206	1101111011101111011
684	1001111111001	8552	10101100000110101	27615	1001110001000111001	38368	1101111111111111011
691	1010001000101	8932	10110100100101101	27746	1001110100010111001	38410	1110000001000000111
733	1010110110101	9214	10111010101011101	27938	1001111001001111001	38460	1110000010100000111
773	1011011101101	9269	10111011111011101	28223	1001111111111111001	38661	1110000111110000111
782	1011101011101	9354	10111101110111101	28493	1010000110110000101	39631	1110100000000010111
808	1100001000011	9465	11000000100000011	28720	1010001100011000101	39839	1110100101010010111
878	1101010101011	9500	11000001010000011	28861	1010001111111000101	40452	1110110101010110111
967	1110110110111	9614	11000011111000011	28969	1010010010100100101	40517	1110110110110110111
985	1111001001111	9676	11000101010100011	29403	1010011101011100101	40925	1111000001000001111
1000	1111011101111	9947	11001011011010011	29677	1010100100010010101	41046	1111000100010001111
1028	1111111111111	10328	11010100000101011	29824	1010100111110010101	41471	1111001110111001111
1997	100001111100001	10673	11011011111011011	29877	1010101001001010101	41512	1111001111111001111
2074	100011010110001	10794	11011110101111011	30157	1010110000000110101	41975	1111011011101101111
2096	100011101110001	10941	11100010001000111	30377	1010110101010110101	42398	1111100110110011111
2203	100101111101001	10997	11100011011000111	30521	1010111001001110101	42617	1111101100011011111
2225	100110010011001	11100	11100101110100111	30791	1011000000000001101	42657	1111101101011011111
2241	100110101011001	11251	11101001010010111	30822	1011000001000001101	43297	1111111101011111111
2378	101001010100101	11499	11101110101110111	30990	1011000101010001101	43390	1111111111111111111
2519	101100000001101	11633	11110001110001111	31057	1011000110110001101
2532	101100010001101	11649	11110010001001111	31112	1011001000001001101
2553	101100101001101	11755	11110100100101111	31331	1011001101011001101
2623	101110000011101	11879	11110111011101111	31387	1011001110111001101
2673	101110111011101	12017	11111010101011111	31471	1011010001000101101
2835	110010010010011	12251	11111111111111111	31558	1011010011100101101
2854	110010101010011	23043	1000000001000000001	31717	1011010111110101101
2977	110101000101011	23562	1000001101011000001	31779	1011011001001101101
3036	110110010011011	23628	1000001110111000001	31955	1011011101011101101
3069	110110111011011	24000	1000011000001100001	32262	1011100101010011101
3076	110111000111011	24220	1000011101011100001	32417	1011101001001011101
3137	111000010000111	24316	1000011111111100001	32509	1011101011101011101
3220	111001111100111	24461	1000100011100010001	32732	1011110001000111101

Tab. 5: Palindromische Primzahlen im Dualsystem

5.3 Zwillingspaare

Auch im Bereich zwischen 1 und 100 000 000_Dez gibt es nur diese zwei Zwillingspaare (Tab. 6).

#	#+1	Palindromische Primzahl	Palindromische Primzahl
2	3	11	101
3	4	101	111

Tab. 6: Zwillinge im Dualsystem

Die Abbildung 1 zeigt das für die Berechnung der Tabelle 6 verwendete Programm (Maple):

restart: with(StringTools):

j := 0:

for n from 1 to 100000000 do

if isprime(n) then

j := j + 1 :

p[j] := convert(n, binary):

end:

J := j:

for m from 1 to J-1 do

if IsPalindrome(convert(p[m], string)) and IsPalindrome(convert(p[m+1], string)) then

print(m, m+1, p[m], p[m+1]):

end:

Abb. 1: Programm

Weblink

Thomas Jahre: Aufgabe der Woche

https://www.schulmodell.eu/aufgabe-der-woche.html