Hans Walser, [20150410]

Osternest

Anregung: R. P. ; M.

1     Die Anregung

Ostern ist zwar vorbei, doch ist ein kombinatorisches Problem noch immer ungel歴t: Der Osterhase macht Nester mit 5 Eiern. Es stehen rote, blaue und gelbe zur Wahl.

Dann gibt es bekanntlich 3񑺵񒢏/1񑓛񑺵 verschiedene Nester. Das kann man wie folgt interpretieren: Das erste ins Nest gelegte Ei hat 3 M歡lichkeiten, was ja offensichtlich ist.

Aber wie kann man sich klar machen, dass das zweite Ei 4 M歡lichkeiten, das dritte Ei 5 usw. haben soll?

2     Die schulische L歴ung

Wir haben 5 Eier und zwei Farb-Trennstriche. Somit m焥sen wir aus 7 Positionen deren zwei f焤 die Farb-Trennstriche ausw奾len. Gibt  L歴ungen. Die Abbildung 1 zeigt ein Beispiel.

 

Abb. 1: Beispiel

 

3     Partitionen

Gesucht sind alle Tripel  (rot, blau, gelb) mit nichtnegativen ganzen Zahlen so dass .

Systematische Auflistung:

 

0, 0, 5

0, 1, 4

0, 2, 3

0, 3, 2

0, 4, 1

0, 5, 0

 

1, 0, 4

1, 1, 3

1, 2, 2

1, 3, 1

1, 4, 0

 

 

2, 0, 3

2, 1, 2

2, 2, 1

2, 3, 0

 

 

 

3, 0, 2

3, 1, 1

3, 2, 0

 

 

 

 

4, 0, 1

4, 1, 0

 

 

 

 

 

5, 0, 0

Tab. 1: Systematische Auflistung

 

Es gibt 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 L歴ungen.

Wir k歯nen die Zahlentripel als kartesische Koordinaten im Raum interpretieren und erhalten so 21 Punkte gem姧 Abbildung 2.

 

Abb. 2: Punkte im Raum

 

4     So geht es auch

Zun奵hst ist . Wir versuchen, die letzte Angabe zu interpretieren.

Wir arbeiten wieder mit Farbtrennstrichen rot/blau und blau/gelb.

Zu Beginn sieht die Sache f焤 den Osterhasen so aus:

 

. / . / .

 

An jedem der drei Punkte kann er das erste Ei setzen, also 3 M歡lichkeiten:

 

. 1 . / . / .      und     . / . 1 . / .     und     . / . / . 1 .

 

In jedem der drei F妉le hat der Osterhase nun f焤 das zweite Ei vier Punkte zur Verf焔ung wo er das Ei setzen kann.

Aus der ersten M歡lichkeit oben ergeben sich zum Breidpiel die vier F妉le:

 

. 2 . 1. / . / .      und     . 1 . 2 . / . / .      und     . 1 . / . 2 . / .      und     . 1 . / . / . 2 .

 

F焤 das dritte Ei gibt es jeweils 5 M歡lichkeiten. Usw.

Wir haben also  lineare Anordnungen. Da im Nest die Reihenfolge keine Rolle spielt, muss noch durch 5! dividiert werden.