Hans Walser, [20131206]

Orthoschem im Wźrfel

Anregung: A. L., S.

1     Das Orthoschem

Wir wŠhlen im Wźrfel der KantenlŠnge 1 drei aufeinanderfolgende paarweise orthogonale Kanten aus (Abb. 1a). Nun nehmen wir von diesen drei Kanten die konvexe Hźlle (Abb. 1b).

Abb. 1: Orthoschem

So entsteht das Orthoschem, ein unregelmŠ§iges Tetraeder. Drei Kanten, nŠmlich die drei ausgewŠhlten Wźrfelkanten, haben die LŠnge 1, zwei weitere Kanten ins SeitenflŠchendiagonalen der LŠnge  und die lŠngste Kante ist die Wźrfeldiagonale mit der LŠnge . Zwei der SeitenflŠchen sind rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke (in der Abbildung 1c ist eines davon in Blau sichtbar), also lŠngs einer Diagonalen halbierte Quadrate, die beiden anderen SeitenflŠchen sind rechtwinklige Dreiecke mit den KathetenlŠngen 1 und  (in der Abbildung 1c) ist eines davon in Cyan sichtbar), also lŠngs einer Diagonalen halbierte Rechtecke im DIN-Format. Das Volumen des Orthoschems ist ein Sechstel des Wźrfelvolumens.

2     ChiralitŠt

Das Orthoschem gibt es in zwei zueinander spiegelbildlichen Varianten (Abb. 2).

Abb. 2: Spiegelbildliche Varianten

Wir werden im Folgenden die Version der Abbildung 2a verwenden.

3     Einpassen in den Wźrfel

Das Orthoschem kann auf 12 verschiedene Arten in den Wźrfel eingepasst werden: Anlegen der langen Kante an eine der vier Wźrfeldiagonalen, dann Dritteldrehungen. Die Abbildung 3 zeigt die 12 Positionen.

 

 

 

Abb. 3: Die 12 Positionen

Die drei Orthoscheme der obersten Reihe der Abbildung 3 kšnnen simultan und durchdringungsfrei in den Wźrfel gepackt werden (Abb. 4a). Sie haben eine Wźrfeldiagonale gemeinsam. Die ZwischenrŠume sind drei zu den bereits verbauten Orthoschemen spiegelbildliche Orthoscheme.

Abb. 4: LŠngs einer Wźrfeldiagonale

Die Abbildung 4b entsteht aus der Situation der Abbildung 4a durch Weglassen der rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecke.

4     Ein Wźrfelmodell

Die Abbildung 4b gibt Anlass zu einem Wźrfelmodell wie folgt.

Wir falten eine DIN A6 Karte lŠngs einer der beiden Diagonalen so dass die beiden Teile einen Schnittwinkel von 60ˇ einschlie§en. Technisch geht das so: wir falten lŠngs der Diagonalen, falten auf, drźcken von der Rźckseite (Bergfalt-Seite) her eine oder zwei Stapelklammern (Tacker-Klammern) quer źber die Faltlinie in die Karte und biegen dann die Klammern zu einem Winkel von 60ˇ zurecht. Die konvexe Hźlle der gefalteten Karte ist ein Orthoschem.

Wir bauen nun sechs solche Orthoscheme, drei linke und drei rechte (Faltdiagonalen austauschen). Diese heften wir provisorisch mit Bźroklammern zum Wźrfelmodell zusammen (Abb. 5).

Abb. 5: Modell aus DIN A6 Karten

Wenn alles sitzt, kšnnen die Bźroklammern durch Stapelklammern ersetzt werden.

5     Origami-Modell

ZunŠchst eine theoretische Vorbereitung.

Wir vierteln zwei gegenźberliegende rechte Winkel des Origami-Quadrates (Abb. 6a).

Abb. 6: Winkelhalbierende

Dann kšnnen wir ein Rechteck mit dem SeitenverhŠltnis  (DIN-Format) einspannen (Abb. 6b).

In der Abbildung 6b sehen wir an den Quadratecken im Wechsel zwei gro§e und zwei kleine rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke. Wir falten nun die zwei kleinen hinein (Abb. 7a).

Abb. 7: Gleichseitiges Sechseck mit Winkeln 90ˇ und 135ˇ

Der Umriss der Figur ist ein gleichseitiges Sechseck. Dieses ist aber nicht gleichwinklig, sondern hat zwei rechte Winkel und vier Winkel von 135ˇ. Das Sechseck ist also nicht regelmŠ§ig.

Nun falten wir Linien gemŠ§ Abbildung 7b. Diese Faltlinien sind als ăTalfaltenŇ zu verstehen. Damit erhalten wir die Abwicklung eines (unregelmŠ§igen) Tetraeders. Dieses Tetraeder ist aber unser Orthoschem.

Nun zur Praxis.

Wir falten das Origami-Papier wie im Origami-Grundkurs lŠngs der beiden Mittellinien. Dann Zerschneiden wir lŠngs einer Mittellinie und bearbeiten jedes Teilstźck einzeln weiter. (Abb. 8).

 

Abb. 8: Start

Wir falten die untere und die obere HŠlfte in die Mitte hinein und erhalten so wieder ein kleines Quadrat (Abb. 9). Es ist doppellagig mit Schlitzen links und rechts. Dieses kleine Quadrat bearbeiten wir nun gemŠ§ Abbildungen 6 und 7. Dabei unterscheiden sich dann die fertigen Modelle spiegelbildlich je nachdem, ob im kleinen Quadrat mit der Quadratdiagonalen von links oben nach rechts unten (wie in Abbildung 9 dargestellt) oder aber mit der Quadratdiagonalen von rechts oben nach links unten gearbeitet wird.

Abb. 9: Weiteres Vorgehen

Nun falten wir lŠngs der magenta Faltlinien hoch und formen das Orthoschem. Die kleinen rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecke kšnnen seitlich in die Schlitze der gro§en eingesteckt werden und dienen so als Verbindungslaschen. Das Modell hŠlt ohne Leim. Eine der Kanten, nŠmlich die mittlere der drei kurzen Kanten, ist offen.

Die Abbildung 10 zeigt zwei spiegelbildliche Modelle.

Abb. 10: Orthoscheme

Drei linke und drei rechte Orthoscheme kšnnen zum Wźrfel gepackt werden (Abb. 11). Dabei kšnnen die Einzelteile mit einem Gummiband fixiert werden. Dieses lŠuft als regelmŠ§iges Sechseck in der Normalebne zur gemeinsamen Wźrfeldiagonale der sechs Bauteile.

Abb. 11: Wźrfel aus sechs Orthoschemen


 

Die Abbildung 12 zeigt denselben Wźrfel mit (beinahe) projizierender Wźrfeldiagonale.

Abb. 12: †ber Eck

Vier linke und vier rechte Orthoscheme kšnnen zu einer Pyramide zusammengestellt werden (Abb. 13).

Abb. 13: Pyramide