Hans Walser, [20150407]
Orthogramm
Anregung: R. O., A.
Orthopez: Viereck, bei welchem zwei gegenŸberliegende Seiten orthogonal sind (Abb. 1).
Abb. 1: Orthopez
Orthogramm (in der Ebene): Viereck mit orthogonalen gegenŸberliegenden Seiten (Abb. 2).
Abb. 2: Orthogramm
Satz 1: In einem Orthopez ist die Summe der Quadrate der beiden nicht orthogonalen Seiten gleich der Summe der Quadrate der Diagonalen.
FŸr den Beweis verwenden wir die Bezeichnungen der Abbildung 3.
Abb. 3: Bezeichnungen
Es ist:
Satz 2: Einem beliebigen Dreieck kann auf drei Arten ein Orthogramm einbeschrieben werden (Abb. 4).
Dabei kommen die Hšhen ins Spiel.
Abb. 4: Orthogramme im Dreieck
Satz 3: Die Diagonalen eines Orthogrammes sind orthogonal.
Dies ergibt sich unmittelbar aus der Abbildung 4. Hintergrund: Hšhenschnittpunkt.
Satz 4: Ein Orthopez mit orthogonalen Diagonalen ist ein Orthogramm.
Ergibt sich aus der Abbildung 4.
Wegen Satz 3 kšnnen die Eigenschaften eines Viereckes mit orthogonalen Diagonalen auf Orthogramme Ÿbertragen werden.
Da in einem Viereck mit orthogonalen Diagonalen die Summe der Quadrate gegenŸberliegender Seiten konstant ist, erhalten wir den folgenden Satz 5.
Dazu verwenden wir folgende Bezeichnungen im Dreieck (Standard): Seiten a, b, c. Hšhen: . Winkel: . Hšhenabschnitte vom Hšhenschnittpunkt bis zu den Ecken: .
Satz 5: In einem beliebigen Dreieck gilt:
Die bildliche Darstellung macht Probleme mit †berlagerungen. In der Abbildung 5 gilt die RGB-Konvention:
Gelb = †berlagerung von Rot und GrŸn
Zyan = †berlagerung von GrŸn und Blau
Magenta = †berlagerung von Blau und Rot
Abb. 5: Rot = GrŸn = Blau
Wenn wir mit geeigneten kleineren Figuren arbeiten, entfŠllt das †berlagerungsproblem (Abb. 6).
Abb. 6: Rot = GrŸn = Blau
Sonderfall: FŸr wird , und . Damit erhalten wir aus Satz 4:
Das kommt uns bekannt vor.
Als Analogon zu einem Orthopez kann im Raum ein Tetraeder mit zwei orthogonalen gegenŸberliegenden Kanten dienen (Abb. 7).
Abb. 7: Analogon zum Orthopez
Satz 6: In einem Tetraeder mit zwei orthogonalen gegenŸberliegenden Kanten ist die Summe der Quadrate der Ÿbrigen gegenŸberliegenden Kante konstant.
Beweis: Wir verwenden die Bezeichnungen der Abbildung 7. Dabei ist m die Minimaltransversale der beiden orthogonalen Kanten. Mit dem rŠumlichen Pythagoras erhalten wir:
Orthogramm (im Raum): Tetraeder mit orthogonalen gegenŸberliegenden Kanten.
Wir verwenden auch im Raum die Bezeichnung Orthogramm und hoffen dass das keine Verwirrung stiftet
Beispiel: RegulŠres Tetraeder
Wir kšnnen ein Orthogramm im Raum wie folgt konstruieren. In der Bodenebene zeichnen wir ein beliebiges Dreieck (die zukŸnftige GrundflŠche einer Dreikant-Pyramide) mit Hšhen und Hšhenschnittpunkt. Im Hšhenschnittpunkt fahren wir senkrecht zur Bodenebene hinauf und wŠhlen auf dieser Senkrechten einen Punkt als Pyramidenspitze (Abb. 8).
Abb. 8: Orthogramm im Raum
Satz 7: Sind in einem Tetraeder zwei Paare gegenŸberliegender Kanten orthogonal, dann auch das dritte Paar. Das Tetraeder ist ein Orthogramm.
(1) Beweis durch Raumvorstellung. Wichtig ist der Sachverhalt, dass sich im Basisdreieck ABC die drei Hšhen in einem Punkt schneiden.
(2) Beweis mit Vektorrechnung. Bezeichnungen gemŠ§ Abbildung 9.
Abb. 9: Bezeichnungen
I)
II)
Somit ist und weiter:
FŸr ein Tetraeder sind also folgende FŠlle mšglich:
a) Keine orthogonalen gegenŸberliegenden Kanten
b) Genau ein Paar orthogonaler gegenŸberliegender Kanten
c) Alle drei Paare gegenŸberliegender Kanten sind orthogonal
Der Fall mit genau zwei Paaren orthogonaler gegenŸberliegender Kanten ist nicht mšglich. Wir haben also eine analoge Situation wie bei den Symmetrieachsen eines Dreieckes. Ein Dreieck hat entweder keine oder eine oder dann drei Symmetrieachsen. Genau zwei Symmetrieachsen sind nicht mšglich.
Satz 8: In einem rŠumlichen Orthogramm ist die Summe der Quadrate gegenŸberliegender Kanten konstant.
Beweise:
(1) LŠsst sich aus Satz 5 herleiten. Es muss zusŠtzlich das Quadrat der Pyramidenhšhe (gemŠ§ Abb. 8 oder 9) berŸcksichtigt werden. Dieses Quadrat fŠllt aber am Schluss aus der Gleichung heraus.
(2) Folgt aus Satz 6.
(3) Beweis mit Vektorrechnung: Wir verwenden wieder die Bezeichnungen der Abbildung 9. Es ist:
Wegen sind die drei Summen gleich.
Satz 9: Das Orthogramm hat einen Hšhenschnittpunkt.
Einsicht durch Raumvorstellung.
Mit 3d-DGS verifiziert. Es ist zu beachten, dass ein beliebiges Tetraeder keinen Hšhenschnittpunkt hat.
In der Abbildung 10 sind zunŠchst nur die Hšhen der Seitendreiecke des Orthogramms eingezeichnet (zyan). Zwei benachbarte Dreiecke haben auf ihrer gemeinsamen Kante denselben Hšhenfu§punkt. Die dort zusammenlaufenden beiden SeitenflŠchenhšhen definieren eine Orthogonalebene zur gemeinsamen Kante. Die zu dieser Kante gegenŸberliegende Kante liegt in dieser Orthogonalebene.
Abb. 10: Hšhend der Seitendreiecke
In der Abbildung 11 sind zusŠtzlich die Hšhen des Orthogramms und ihr Schnittpunkt eingezeichnet (blau).
Abb. 11: Hšhen
Satz 10: In einem rŠumlichen Orthogramm schneiden sich die drei Minimaltransversalen gegenŸberliegender Kanten ebenfalls im Hšhenschnittpunkt.
Einsicht durch Raumvorstellung.
Mit 3d-DGS verifiziert. Es ist zu beachten, dass in einem beliebigen Tetraeder die drei Minimaltransversalen gegenŸberliegender Kanten keinen Punkt gemeinsam haben.
In der Abbildung 12 sind die Minimaltransversalen eingezeichnet (rot). Sie laufen von den Fu§punkten der SeitenflŠchenhšhen aus.
Abb. 12: Minimaltransversalen