Hans Walser, [20180702]

Orthogonaltransversalen

1     Problemstellung

Zu den beiden Parabeln (Abb. 1)

 

                                                                                   (1)

 

 

suchen wir die Orthogonaltransversalen, also Geraden, welche beide Parabeln rechtwinklig schneiden.

Abb. 1: Die beiden Parabeln

2     Bearbeitung

Eine triviale Lšsung ist die Gerade durch die beiden Scheitelpunkte.

FŸr weitere Lšsungen wŠhlen wir auf der Parabel p einen allgemeinen Punkt  und auf der Parabel q einen allgemeinen Punkt .

FŸr Orthognaltransversalen PQ gilt die Extremaleigenschaft:

 

                                                                   (2)

 

 

Dabei genŸgt es, dass der Radikand

 

                                                                                   (3)

 

 

extremal wird. Wir erhalten die beiden Bedingungen:

 

                                                                     (4)

 

 

 

Eine triviale Lšsung ist s = t = 0. Dies liefert die Gerade durch die beiden Scheitelpunkte.

Eine weitere Lšsung erhalten wir fŸr s = t (dann verschwindet die erste Klammer in (4) und zusŠtzlich:

 

                                                                           (5)

 

 

Dies ergibt die imaginŠre Lšsung .

FŸr die weiteren Lšsungen erhalten wir durch Vergleich der beiden Zeilen in (4):

 

                                                                                                       (6)

 

 

Einsetzen in die erste Zeile von (4) liefert zunŠchst:

 

                                                                  (7)

 

 

Da wir nur noch Lšsungen fŸr s ­ 0 suchen, kšnnen wir in (7) durch s dividieren und erhalten.

 

                                                                                                                             (8)

 

 

Daraus und wegen (6) folgt:

 

                                                                                                    (9)

 

 

Die Abbildung 2 zeigt in rot die zugehšrigen Transversalen. Blau ist die triviale Lšsung.

Abb. 2: Lšsungen

SŠmtliche Lšsungen liegen auf Geraden durch (0, 4). Von diesem Punkt aus kann die Parabel q durch Streckung mit dem Faktor 4 auf die Parabel p abgebildet werden.