Hans Walser, [20160427]
Nullsummen
1 Aufgabenstellungen
1.1 Roter Kranz
Einem Viereck mit gleich langen und orthogonalen Diagonalen setzen wir Quadrate an (rot in Abbildung 1).
Abb. 1: Quadrate ansetzen
Wie gro§ ist die alternierende FlŠchensumme der vier roten Quadrate?
1.2 GrŸner Kranz
Nun fŸgen wir einen weiteren Kranz von Quadraten dazu (grŸn in Abbildung 2).
Abb. 2: GrŸner Quadratkranz
Wie gro§ ist die alternierende FlŠchensumme der vier grŸnen Quadrate?
1.3 Blauer Kranz
Nun fŸgen wir einen weiteren Kranz von Quadraten dazu (blau in Abbildung 3).
Abb. 3: Noch ein Kranz
Wie gro§ ist die alternierende FlŠchensumme der vier blauen Quadrate?
1.4 Wie geht es weiter?
Wie geht es weiter?
2 Bearbeitungen
2.1 Roter Kranz
Wir verwenden die Bezeichnungen der Abbildung 4.
Abb. 4: Bezeichnungen
Die Diagonalen unterteilen das Ausgangsviereck in vier rechtwinklige Dreiecke. Nach Pythagoras gilt:
(1)
Die alternierende FlŠchensumme verschwindet:
(2)
FŸr den roten Kranz ist es unwesentlich, dass die beiden Diagonalen gleich lang sind. (2) gilt in jedem Viereck mit orthogonalen Diagonalen.
2.2 GrŸner Kranz
Die Abbildung 5 gibt die Bezeichnungen.
Abb. 5: Bezeichnungen
Nun wird es wichtig, dass die Diagonalen nicht nur orthogonal, sondern auch gleich lang sind. Wir setzen:
(3)
Nach dem Kosinus-Satz ist
(4)
Der
Au§enwinkel von 
ist 
. Daher ist ebenfalls nach dem Kosinus-Satz:
(5)
Addition von (4) und (5) liefert:
(6)
Analog:
(7)
Wegen (2) ergibt die alternierende Addition in (7):
(8)
2.3 Blauer Kranz
Experiment mit DGS ergibt:
(9)
Ich habe dafŸr noch keinen Beweis gefunden. Der Kosinus-Satz ist nicht mehr anwendbar, da die ZwischenrŠume nun unregelmŠ§ige Vierecke sind.
Ebenso vermute ich:
(10)