Hans Walser, [20131014]

Normalaxonometrie im Raster

1        Worum geht es

Es wird eine normalaxonometrische WŸrfeldarstellung im Quadratraster gesucht. Die Grundidee arbeitet mit dem pythagoreischen Dreieck mit den SeitenlŠngen 3, 4, 5, also dem klassischen Lehrerdreieck.

2        Ergebnis

Abb. 1: Der WŸrfel

Die Darstellung ist exakt, benštigt aber viel Platz. Auf einem 4mm-Raster ist es auf einem DIN A4 Papier aber gerade noch zu machen.

Die Abbildung 2 zeigt die Situation im Kontext der Einheitskugel.

Abb. 2: Einheitskugel


3        Herleitung

Wir arbeiten wie in der Schule mit den Eulerschen Winkeln  und . Die Abbildung 3 zeigt die Situation im Kontext der Einheitskugel in Auf- und Kreuzriss, das hei§t von vorne und von der Seite. Die Beschriftungen sind problemangepasst und weichen von den in der darstellenden Geometrie Ÿblichen geringfŸgig ab.

Abb. 3: Auf- und Kreuzriss

Wir wŠhlen nun  als den kleineren der beiden spitzen Winkel im Lehrerdreieck mit den Seiten 3, 4, 5 und  als den grš§eren (Abb. 4).

Abb. 4: Winkel im Lehrerdreieck

Es ist dann

 

FŸr die Einheitsvektoren  erhalten wir im in der Abbildung 3 angegebenen kartesischen -Koordinatensystem:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Es lŠsst sich alles auf den gemeinsamen Nenner 25 bringen. Entsprechend kšnnen wir mit einem FŸnfundzwanzigstel-Raster arbeiten.

FŸr den zeichnerisch relevanten Aufriss erhalten wir:

 

 


Damit ergibt sich die Rasterlšsung der Abbildung 5.

Abb. 5: Rasterkoordinaten

Die durch die Projektion weggelassenen dritten Komponenten  der Einheitsvektoren liefern die kurzen Halbachsen der in der Abbildung 2 eingezeichneten Ellipsen (Meridiane fŸr 90¡E und 0¡ sowie €quator).


Wenn wir in den Einheitsvektoren die mittleren Komponenten ausblenden, liefern die restlichen eine zweite Rasterlšsung (Abb. 6).

Abb. 6: Zweite Lšsung


Durch Ausblenden der ersten Komponenten in den Einheitsvektoren erhalten wir eine dritte, etwas spezielle Rasterlšsung (Abb. 7). Wir erkennen mehrfach das Lehrerdreieck.

Abb. 7: Dritte Lšsung


Das hŠtte man auch einfacher haben kšnnen (Abb. 8).

Abb. 8: Einfachere Lšsung

4        Hintergrund

Die Spaltenvektoren der Matrix

 

 

 

haben die LŠnge 1 und sind paarweise orthogonal. Wenn nun  und  Winkel von pythagoreischen Dreiecken (allenfalls  auch zwei verschiedenen pythagoreischen Dreiecken) sind, werden alle MatrixeintrŠge rational. Durch Erweitern auf gemeinsamen Nenner und geeignete Projektion (Weglassen einer Zeile der Matrix) ergibt sich eine Rasterlšsung.