1 Worum es geht

Schließungsfiguren beliebiger Periodenlänge

2 Periodenlänge 4

2.1 Viereck

Wir beginnen mit einem beliebigen Viereck A₀A₁A₂A₃ (Abb. 1).

Abb. 1: Beliebiges Viereck

Darin wählen wir einen beliebigen Punkt M (Abb. 2). Dieser Punkt wird als Miquel-Punkt bezeichnet.

Abb. 2: Punkt im Innern

Weiter wählen wir auf der Seite A₃A₀ einen beliebigen Startpunkt P₀ (Abb. 3).

Abb. 3: Startpunkt

Nun zeichnen wir den Kreis k₀ durch die drei Punkte P₀A₀M (Abb. 4).

Abb. 4: Startkreis

Den Kreis k₀ schneiden wir mit der Seite A₀A₁ (Abb. 5). Der Schnittpunkt heiße P₁.

Abb. 5: Erster Punkt

Nun zeichnen wir den Kreis k₁ durch die drei Punkte P₁A₁M (Abb. 6). Die beiden Kreise k₀ und k₁ sind in der Regel nicht gleich groß.

Abb. 6: Erster Kreis

Den Kreis k₁ schneiden wir mit der Seite A₁A₂ (Abb. 7). Der Schnittpunkt heiße P₂.

Abb. 7: Zweiter Punkt

Die Leserin ahnt, was kommt: wir zeichnen den Kreis k₂ durch die drei Punkte P₂A₂M (Abb. 8).

Abb. 8: Zweiter Kreis

Und folgerichtig: den Kreis k₂ schneiden wir mit der Seite A₂A₃ (Abb. 9). Der Schnittpunkt heiße P₃.

Abb. 9: Dritter Punkt

Nun zeichnen wir noch den Kreis k₃ durch die drei Punkte P₃A₃M (Abb. 10).

Abb. 10: Dritter Kreis

Dieses war der letzte Streich. Denn der Kreis k₃ verläuft durch P₀. Der Punkt P₄ ist derselbe Punkt wie der Startpunkt P₀. Wir haben eine Schließungsfigur der Periodenlänge 4.

Die Abbildungen 11 und 12 zeigen dasselbe animiert.

Ein Bild, das Diagramm enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Abb. 11: Schließungsprozess

Abb. 12: Schließungsprozess

2.2 Beweis der Schließungseigenschaft

Wir zeichnen die Verbindungsstrecken von M zu den Punkten P_k, k ϵ {0, 1, 2, 3} (blau in Abb. 13). Dadurch entstehen Sehnenvierecke.

Abb. 13: Sehnenvierecke

Da sich in einem Sehnenviereck gegenüberliegende Winkel auf 180° ergänzen und sich Nebenwinkel ebenfalls auf 180° ergänzen, sind die an den Punkten P_k eingezeichneten Winkel α und β durchgehend gleich groß. Das letzte zu zeichnende Viereck ist daher auch ein Sehnenviereck. Daher ist der Punkt P₄ derselbe Punkt wie der Startpunkt P₀.

Von M aus gesehen sind die Verbindungsstrecken zu den Punkten P_k, k ϵ {0, 1, 2, 3} so etwas wie „schiefe Lote“ auf die Viereckseiten.

2.3 Kreiszentrenviereck

Das Viereck Z₀Z₁Z₂Z₃ der Kreiszentren ist ähnlich zum Viereck A₀A₁A₂A₃ (Abb. 14).

Seine Seiten sind Mittelsenkrechte der blauen Verbindungsstrecken von M zu den Punkten P_k.

Abb. 14: Kreiszentrenviereck

Um die Ähnlichkeit einzusehen, zeichnen wir zunächst die Lotfußpunkte Q_k, k ϵ {0, 1, 2, 3} von M auf die Viereckseiten (Abb. 15).

Abb. 15: Lotfußpunkte

Es entstehen vier rechtwinklige Dreiecke MQ_kP_k, k ϵ {0, 1, 2, 3}, welche alle dieselben Winkel haben, also ähnlich sind. Die Punkte Q_k, k ϵ {0, 1, 2, 3} können also alle mit derselben Drehstreckung auf die entsprechenden Punkte P_k, k ϵ {0, 1, 2, 3} abgebildet werden. Diese Drehstreckung hat ihr Zentrum in M, der Drehwinkel ist der konstante Winkel Q_kMP_k, und der Faktor ist das Verhältnis der Hypotenuse MP_k zur Kathete Q_kM.

Die Streecken MP_k, k ϵ {0, 1, 2, 3} haben alle dieselbe Lotabweichung.

Weiter zeichnen wir nun das Mittelsenkrechtenviereck Y₀Y₁Y₂Y₃ zu den Lotstrecken MQ_k, k ϵ {0, 1, 2, 3} (Abb. 16). Dieses Viereck Y₀Y₁Y₂Y₃ geht aus dem Viereck A₀A₁A₂A₃ durch eine zentrische Streckung von M aus mit dem Faktor ½ hervor. Diese beiden Vierecke sind also ähnlich (sogar perspektivähnlich). Nun können wir noch mit der oben erwähnten Drehstreckung auf das Viereck Z₀Z₁Z₂Z₃ der Kreiszentren abbilden. Somit sind alle drei Vierecke ähnlich.