Hans Walser, [20050829a], [20171103]

Magische Kreise

1     Die Probleme

1.1    Drei Kreise

In die quadratischen Felder sind die Zahlen 1 bis 6 so einzusetzen, dass auf jedem Kreis die Summe gleich ist.

Abb. 1: Drei Kreise

1.2    Vier Kreise

In die Rhomben-Felder sind die Zahlen 1 bis 12 so einzusetzen, dass auf jedem Kreis die Summe gleich ist.

Abb. 2: Vier Kreise

1.3    Sechs Kreise

In die Felder (Quadrate und Sechsecke) sind die Zahlen 1 bis 14 so einzusetzen, dass auf jedem Kreis die Summe gleich ist.

Abb. 3: Sechs Kreise

1.4    Sieben Kreise

Gesucht sind 18 auf einander folgende ungerade Zahlen, so dass auf jedem Kreis die Summe gleich ist.

Abb. 4: Sieben Kreise

1.5    Nochmals ein Beispiel mit sieben Kreisen

Gesucht sind 18 auf einander folgende ganze Zahlen (sie dźrfen auch negativ sein), so dass auf jedem Kreis die Summe gleich ist.

Abb. 5: Nochmals sieben Kreise

2     Bearbeitungen und Lšsungen

2.1    Drei Kreise

Wir machen eine Mittel-†berlegung.

ZunŠchst ist 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Da jeder Kreis zwei Drittel der sechs Felder begreift, muss auf jedem Kreis die Kreissumme 14 sein. Da weiter zwei Kreise genau zwei Felder gemeinsam haben, muss in diesen beiden Feldern die Summe 7 sein. Wir kšnnen also mit der 1 irgendwo beginnen und mźssen dann im Gegenfeld die 6 setzen. Und so weiter. Die Abbildung 6 zeigt eine mšgliche Lšsung.

Abb. 6: Drei Kreise

Man vergleiche damit die Verteilung der Augenzahlen auf einem Spielwźrfel.

2.2    Vier Kreise

Abb. 7: Vier Kreise

Die †berlegung lŠuft analog zum Beispiel mit drei Kreisen. Die Kreissumme ist 39.

2.3    Sechs Kreise

Hier gibt es mehrere Lšsungen, nicht nur, was die Verteilung der Zahlen betrifft, sondern auch bei der Kreissumme. Dies deshalb, weil es Felder in Kreuzungspunkten von zwei Kreisen und Felder in Kreuzungspunkten von drei Kreisen gibt.

Bei der Lšsung der Abbildung 8 haben wir die Kreissumme 41.

Abb. 8: Kreissumme 41

Bei der Lšsung der Abbildung 9 haben wir die Kreissumme 45.

Abb. 9: Kreissumme 45

Bei der Lšsung der Abbildung 10 ergibt sich die Kreissumme 49. Ich wei§ nicht, ob es noch weitere Lšsungen gibt.

Abb. 10: Kreissumme 49

2.4    Sieben Kreise

Im Beispiel der Abbildung 11 kommen genau die ungeraden Zahlen 13, 15, ... , 45, 47 vor. Die Kreissumme ist 216.

Abb. 11: Kreissumme 216

2.5    Noch ein Beispiel mit sieben Kreisen

Im Beispiel der Abbildung 12 erscheinen genau die 18 aufeinander folgenden ganzen Zahlen –1, 0, 1, 2, 3, ... , 16. Die Kreissumme ist 54.

Abb. 12: Kreissumme 54

3     Geometrie der Kreise

Die Kreise schneiden sich unter bestimmten regelmŠ§igen Winkeln. Der Hintergrund ist die stereografische Projektion von symmetrischen Gro§kreisen auf der Kugel.

3.1    Drei Kreise

Die drei paarweise orthogonalen Gro§kreise der Abbildung 13 ergeben bei geeigneter stereografischer Projektion die drei Kreise in der Position der Abbildungen 1 und 6.

Abb. 13: Drei paarweise orthogonale Gro§kreise

3.2    Vier Kreise

Die vier Gro§kreise der Abbildung 14 schneiden sich unter spitzen Winkel von:

 

                                                                                                         (1)

 

 

Abb. 14: Schnittwinkel Ĺ 70.53ˇ

Dies fźhrt zu den vier Kreisen der Abbildungen 2 und 7.

3.3    Sechs Kreise

Wenn wir beim Kugelmodell der Abbildung 13 die Winkelhalbierenden Kreise einfźgen und dann die ursprźnglichen drei Kreise entfernen, bleibt ein Modell mit sechs Gro§kreisen źbrig. Diese schneiden sich entweder orthogonal (6 Schnittpunkte) oder unter Winkeln von 60ˇ (8 Schnittpunkte).

3.4    Sieben Kreise

Die Abbildung 15 zeigt ein Kugelmodell mit 7 Gro§kreisen. Das Modell ist eine †berlagerung der Modelle der Abbildungen 13 und 14.

Abb. 15: Sieben Gro§kreise

Wir haben zwei verschiedene Gro§kreistypen. Daher ist auch das ZahlenrŠtsel nicht ganz einfach.