Hans Walser, [20171019]

Magische Quadrate ungerader SeitenlŠnge

Anregung: Euler (1782)

1     Worum geht es?

Zu einer gegebenen ungeraden Zahl u wird ein magisches Quadrat mit der SeitenlŠnge u konstruiert.

2     Das Vorgehen

Wir illustrieren das Vorgehen exemplarisch fŸr u = 7.

2.1    Buchstaben

ZunŠchst nehmen wir die ersten u kleinen Buchstaben des Alphabets und markieren den Buchstaben in der Mitte (Abb. 1a).

Abb. 1: Buchstaben

Analog verfahren wir mit gro§en Buchstaben (Abb. 1b).

2.2    Im Quadratraster

Im u×u-Quadratraster setzen wir in den Feldern der Diagonalen von links oben nach rechts unten je den in der Abbildung 1b rot markierten mittleren gro§en Buchstaben ein (Abb. 2).

Abb. 2: Diagonale im Quadratraster

Wir ergŠnzen in jeder Zeile mit gro§en Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge von links nach rechts (Abb. 3). Wenn wir beim letzten Buchstaben der Liste der Abbildung 1b angekommen sind, fahren wir mit A weiter. Wenn wir am rechten Rand des Quadratrasters ankommen, fahren wir links mit dem nŠchsten Buchstaben weiter.

Abb. 3: Alphabetische ErgŠnzung

Der durch die Startdiagonale bedingte Versatz hat zur Folge, dass in jeder Zeile und in jeder Spalte jeder gro§e Buchstabe genau einmal vorkommt.

Nun setzen wir in der anderen Diagonale (von rechts oben nach links unten) je den rot markierten mittleren kleinen Buchstaben der Abbildung 1a dazu (Abb. 4).

Abb. 4: Zweite Diagonale

Schlie§lich ergŠnzen wir die kleinen Buchstaben in jeder Spalte von oben nach unten in alphabetischer Reihenfolge (Abb. 5).

Abb. 5: ErgŠnzung mit kleinen Buchstaben

Wir haben jetzt in jeder Spalte und in jeder Zeile jeden kleinen Buchstaben genau ein Mal.

3     Zahlwerte

Wir ordnen den Buchstaben Zahlen zu gemŠ§ Abbildung 6. Den kleinen Buchstaben ordnen wir der Reihe nach die Zahlen 0, ... , u – 1 zu, den gro§en Buchstaben das u-fache davon.

Abb. 6: Buchstaben und Zahlen

Nun setzen wir in jedem Feld die Summe der Zahlwerte des gro§en und des kleinen Buchstabens gemŠ§ den Tabellen der Abbildung 6 ein. FŸr das Feld links oben haben wir zum Beispiel D + e = 21 + 4 = 25. So erhalten wir ein magisches Quadrat (Abb. 7).

 

25

33

41

42

1

9

17

19

27

28

36

44

3

11

13

14

22

30

38

46

5

0

8

16

24

32

40

48

43

2

10

18

26

34

35

37

45

4

12

20

21

29

31

39

47

6

7

15

23

Abb. 7: Magisches Quadrat

4     Warum funktioniert das?

4.1    Rechnerische Vorbereitungen

Zum rot markierten kleinen Buchstaben in der Mitte der Abbildung 1a gehšrt der Wert .

Die Summe s aller Werte der kleinen Buchstaben der Abbildung 1a ist:

 

                                                                                           (1)

 

FŸr unser Beispiel u = 7 erhalten wir s = 21. Das ist genau der rot unterlegte Wert in der Abbildung 1b.

Zum rot markierten gro§en Buchstaben in der Mitte der Abbildung 1b gehšrt der Wert .

Die Summe S der Werte der gro§en Buchstaben der Abbildung 1b ist:

 

                                                                                     (2)

 

FŸr unser Beispiel u = 7 erhalten wir S = 147.

Weiter kšnnen wir jede Zahl zwischen 0 und u2 – 1 eindeutig als Summe eines gro§en und eines kleinen Zahlwertes darstellen. Beispiel: 37 = 35 + 2 = F + c.

4.2    Alle Zahlen kommen vor

Auf Grund unserer Konstruktion kommt jede mšgliche Buchstabenkombination eines gro§en mit einem kleinen Buchstaben genau einmal. Umgekehrt gehšrt zu jeder Zahl zwischen 0 und u2 – 1 eine eindeutig bestimmte Buchstabenkombination.

Wer lieber die Zahlen 1 bis u2 im magischen Quadrat hat, kann einfach in jedem Feld eins dazuzŠhlen. Allerdings werden dann gewisse schšne Eigenschaften weniger gut sichtbar.

4.3    Zeilen- und Spaltensummen

In jeder Zeile kommt jeder gro§e und jeder kleine Buchstabe genau einmal vor. Somit ist wegen (1) und (2) die Zeilensumme Z gleich S + s, also konstant. Es ist:

 

                                                                             (3)

 

Wir kšnnen das nachprŸfen. FŸr die Summe T aller Zahlen von 0 bis u2 – 1 gilt:

 

                                                                           (4)

 

Da wir u Zeilen haben, ist die Zeilensumme Z:

 

                                                                                                         (5)

 

FŸr die Spaltensumme Ÿberlegen wir analog. Die Spaltensumme ist ebenfalls Z.

4.4    Diagonalensummen

In der Diagonale von links oben nach rechts unten haben wir zwar ebenfalls alle kleinen Buchstaben mit dem Gesamtwert s. Hingegen kommt ausschlie§lich und damit u mal der mittlere gro§e Buchstabe der Abbildung 1b vor. Dieser hat den Wert . Da dieser Wert u mal vorkommt, haben wir in dieser Diagonale fŸr die gro§en Buchstaben den Gesamtwert:

 

                                                                                                         (6)

 

Somit ist die Gesamtsumme in dieser Diagonale ebenfalls S + s = Z.

In der Diagonale von rechts oben nach links unten lŠuft es analog. ZunŠchst haben wir alle gro§en Buchstaben mit dem Gesamtwert S. Weiter kommt u mal die mittlere Zahl in der Abbildung 1a mit dem Wert  vor, also insgesamt:

 

                                                                                                       (7)

 

Wir haben also ebenfalls die Gesamtsumme S + s = Z.

5     Formel

Wir nummerieren die Zeilen (Abb. 5) von oben nach unten mit i = 1, ... , u und die Spalten von links nach recht mit j = 1, ... , u.

Wir suchen nach einer Formel fŸr die Zahl im Feld (i, j), geschrieben .

Dazu untersuchen wir zunŠchst die €nderungen von f bei einem Zuwachs von i oder j um +1.

Eine Zuwachs von +1 bei j fŸhrt bei den gro§en Buchstaben zum nŠchsten Buchstaben im Alphabet, also zu einem Zuwachs von +u fŸr f, da die Werte der gro§en Buchstaben in Schritten von u zunehmen. Eine Ausnahme ist die Situation, wenn wir beim letzten Buchstaben sind und zu A zurŸckmŸssen. Wir kšnnen das regeln, indem wir bei j modulo u arbeiten.

Eine Zuwachs von +1 bei i fŸhrt bei den gro§en Buchstaben zum vorhergehenden Buchstaben. Wenn wir schon bei A, ergibt sich ein Sprung zum letzten Buchstaben. Auch das kšnnen wir regeln, indem wir bei i modulo u arbeiten.

Diese ZuwachsŸberlegungen zeigen, dass der die gro§en Buchstaben betreffende Teil der gesuchten Formel additiv ist und zwar von der Form

 

                                                                                         (8)

 

ist mit einer noch offenen Justierung. Diese finden wir, indem wir fŸr i und j ein spezielles Zahlenpaar, zum Beispiel (1,1), einsetzen. Damit finden wir fŸr den die gro§en Buchstaben betreffenden Teil die Formel:

 

                                                                                                   (9)

 

Bei den kleinen Buchstaben ist der Zuwachs in beiden Richtungen positiv (i wŠchst nach unten!). Damit erhalten wir zusammen mit der Justierung fŸr diesen Teil:

 

                                                                                                      (10)

 

Somit haben wir die Formel:

 

                                                (11)

 

Im Folgenden Beispiele.

6     Beispiele

Es wird das magische Quadrat und das zugehšrige Histogramm angegeben. Die Histogramme sind mit dem Faktor  unterhšht.

6.1    u = 3

5

6

1

0

4

8

7

2

3

Abb. 8b: u = 3

Abb. 8b: Histogramm

6.2    u = 5

13

19

20

1

7

9

10

16

22

3

0

6

12

18

24

21

2

8

14

15

17

23

4

5

11

Abb. 9a: u = 5

Abb. 9b: Histogramm

6.3    u = 7

25

33

41

42

1

9

17

19

27

28

36

44

3

11

13

14

22

30

38

46

5

0

8

16

24

32

40

48

43

2

10

18

26

34

35

37

45

4

12

20

21

29

31

39

47

6

7

15

23

Abb. 10a: u = 7

Abb. 10b: Histogramm

6.4    u = 9

41

51

61

71

72

1

11

21

31

33

43

53

54

64

74

3

13

23

25

35

36

46

56

66

76

5

15

17

18

28

38

48

58

68

78

7

0

10

20

30

40

50

60

70

80

73

2

12

22

32

42

52

62

63

65

75

4

14

24

34

44

45

55

57

67

77

6

16

26

27

37

47

49

59

69

79

8

9

19

29

39

Abb. 11a: u = 9

Abb. 11b: Histogramm

6.5    u = 11

61

73

85

97

109

110

1

13

25

37

49

51

63

75

87

88

100

112

3

15

27

39

41

53

65

66

78

90

102

114

5

17

29

31

43

44

56

68

80

92

104

116

7

19

21

22

34

46

58

70

82

94

106

118

9

0

12

24

36

48

60

72

84

96

108

120

111

2

14

26

38

50

62

74

86

98

99

101

113

4

16

28

40

52

64

76

77

89

91

103

115

6

18

30

42

54

55

67

79

81

93

105

117

8

20

32

33

45

57

69

71

83

95

107

119

10

11

23

35

47

59

Abb. 12a: u = 11

Abb. 12b: Histogramm

6.6    u = 13

85

99

113

127

141

155

156

1

15

29

43

57

71

73

87

101

115

129

130

144

158

3

17

31

45

59

61

75

89

103

104

118

132

146

160

5

19

33

47

49

63

77

78

92

106

120

134

148

162

7

21

35

37

51

52

66

80

94

108

122

136

150

164

9

23

25

26

40

54

68

82

96

110

124

138

152

166

11

0

14

28

42

56

70

84

98

112

126

140

154

168

157

2

16

30

44

58

72

86

100

114

128

142

143

145

159

4

18

32

46

60

74

88

102

116

117

131

133

147

161

6

20

34

48

62

76

90

91

105

119

121

135

149

163

8

22

36

50

64

65

79

93

107

109

123

137

151

165

10

24

38

39

53

67

81

95

97

111

125

139

153

167

12

13

27

41

55

69

83

Abb. 13a: u = 13

Abb. 13b: Histogramm

7     Eigenschaften

7.1    Arithmetische Folgen

Die Null befindet sich immer in der linken Spalte in der Mitte. Die zugehšrige Zeile besteht aus einer arithmetischen Folge mit dem Zuwachs u + 1.

Die mittlere Spalte besteht in der Richtung von unten nach oben aus einer arithmetischen Folge mit dem Zuwachs u – 1.

7.2    Zahl in der Mitte

Die Zahl in der Mitte ist . Die Zeilen-, Spalten- und Diagonalensumme ist das u-fache davon.

7.3    ErgŠnzungssymmetrie

Zwei Zahlen, die punktsymmetrisch bezŸglich der Zahl in der Mitte liegen, ergŠnzen sich auf das Doppelte der Zahl in der Mitte.

Wir kšnnen diese Symmetrie sichtbar machen, indem wir sŠmtliche Zahlen um die Zahl in der Mitte absenken. Die Zeilen-, Spalten- und Diagonalensummen werden dann null.

Im Folgenden die entsprechenden Beispiele. Die Histogramme gehen jetzt auch nach unten.

 

1

2

–3

–4

0

4

3

–2

–1

Abb. 14a: u = 3. Symmetrische Version

Abb. 14b: Histogramm

1

7

8

–11

–5

–3

–2

4

10

–9

–12

–6

0

6

12

9

–10

–4

2

3

5

11

–8

–7

–1

 


Abb. 15a: u = 5. Symmetrische Version

Abb. 15b: Histogramm

1

9

17

18

–23

–15

–7

–5

3

4

12

20

–21

–13

–11

–10

–2

6

14

22

–19

–24

–16

–8

0

8

16

24

19

–22

–14

–6

2

10

11

13

21

–20

–12

–4

–3

5

7

15

23

–18

–17

–9

–1

Abb. 16a: u = 7. Symmetrische Version

Abb. 16b: Histogramm

1

11

21

31

32

–39

–29

–19

–9

–7

3

13

14

24

34

–37

–27

–17

–15

–5

–4

6

16

26

36

–35

–25

–23

–22

–12

–2

8

18

28

38

–33

–40

–30

–20

–10

0

10

20

30

40

33

–38

–28

–18

–8

2

12

22

23

25

35

–36

–26

–16

–6

4

5

15

17

27

37

–34

–24

–14

–13

–3

7

9

19

29

39

–32

–31

–21

–11

–1

Abb. 17a: u = 9. Symmetrische Version

Abb. 17b: Histogramm

1

13

25

37

49

50

–59

–47

–35

–23

–11

–9

3

15

27

28

40

52

–57

–45

–33

–21

–19

–7

5

6

18

30

42

54

–55

–43

–31

–29

–17

–16

–4

8

20

32

44

56

–53

–41

–39

–38

–26

–14

–2

10

22

34

46

58

–51

–60

–48

–36

–24

–12

0

12

24

36

48

60

51

–58

–46

–34

–22

–10

2

14

26

38

39

41

53

–56

–44

–32

–20

–8

4

16

17

29

31

43

55

–54

–42

–30

–18

–6

–5

7

19

21

33

45

57

–52

–40

–28

–27

–15

–3

9

11

23

35

47

59

–50

–49

–37

–25

–13

–1

Abb. 18a: u = 11. Symmetrische Version

Abb. 18b: Histogramm

1

15

29

43

57

71

72

–83

–69

–55

–41

–27

–13

–11

3

17

31

45

46

60

74

–81

–67

–53

–39

–25

–23

–9

5

19

20

34

48

62

76

–79

–65

–51

–37

–35

–21

–7

–6

8

22

36

50

64

78

–77

–63

–49

–47

–33

–32

–18

–4

10

24

38

52

66

80

–75

–61

–59

–58

–44

–30

–16

–2

12

26

40

54

68

82

–73

–84

–70

–56

–42

–28

–14

0

14

28

42

56

70

84

73

–82

–68

–54

–40

–26

–12

2

16

30

44

58

59

61

75

–80

–66

–52

–38

–24

–10

4

18

32

33

47

49

63

77

–78

–64

–50

–36

–22

–8

6

7

21

35

37

51

65

79

–76

–62

–48

–34

–20

–19

–5

9

23

25

39

53

67

81

–74

–60

–46

–45

–31

–17

–3

11

13

27

41

55

69

83

–72

–71

–57

–43

–29

–15

–1

Abb. 19a: u = 13. Symmetrische Version

Abb. 19b: Histogramm

Die symmetrischen Quadrate haben links oben eine 1, links unten die SeitenlŠnge u.

 

Literatur

Euler, Leonhard (1782) : E 530, Recherches sur une nouvelle espce de quarrŽs magiques, Vlissingen 1782 - Opera I 7, p. 291-392.